1. 阅读教材第 133 页阅读与思考,解决下列问题:
在初中数学综合与实践课上,探究关于$x^{2}+(p+q)x+pq$型式子的因式分解.
问题 1:请详细阐述$(x+p)(x+q)= x^{2}+(p+q)x+pq$是如何利用多项式乘法法则推导得出的.
问题 2:用十字相乘法将下列多项式分解因式:
(1)$m^{2}+9m+20$; (2)$n^{2}-3n-10$;
(3)$a^{2}+5a-24$; (4)$b^{2}-8b+15$.
问题 3:已知一个长方形的面积为$x^{2}+6x+8$,其中长方形的长和宽均为整式,求该长方形的长和宽.(用含$x$的式子表示)
答案：解:问题1:根据多项式乘法法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$,对于$(x+p)(x+q)$,其中$a=x$,$b=p$,$c=x$,$d=q$,则$(x+p)(x+q)=x\cdot x+x\cdot q+p\cdot x+p\cdot q=x^{2}+qx+px+pq=x^{2}+(p+q)x+pq$.
问题2:
(1)对于$m^{2}+9m+20$,将二次项系数1分解为$1× 1$,常数项20分解为$4× 5$,因为$4+5=9$(一次项系数),所以$m^{2}+9m+20=(m+4)(m+5)$.
(2)对于$n^{2}-3n-10$,将二次项系数1分解为$1× 1$,常数项-10分解为$2× (-5)$,且$2+(-5)=-3$(一次项系数),所以$n^{2}-3n-10=(n+2)(n-5)$.
(3)对于$a^{2}+5a-24$,将二次项系数1分解为$1× 1$,常数项-24分解为$8× (-3)$,且$8+(-3)=5$(一次项系数),所以$a^{2}+5a-24=(a+8)(a-3)$.
(4)对于$b^{2}-8b+15$,将二次项系数1分解为$1× 1$,常数项15分解为$(-3)× (-5)$,且$(-3)+(-5)=-8$(一次项系数),所以$b^{2}-8b+15=(b-3)(b-5)$.
问题3:对于$x^{2}+6x+8$,将二次项系数1分解为$1× 1$,常数项8分解为$2× 4$,且$2+4=6$(一次项系数),所以$x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4)$.
因为长方形面积等于长乘宽，所以该长方形的长为$x+4$,宽为$x+2$.
