8.(2024·南通如东期末)若$4x^{2}-kx+1$能用完全平方公式分解因式,则$k= $
$\pm 4$
.
答案：$\pm 4$
解析：
因为$4x^{2}-kx+1=(2x)^{2}-kx+1^{2}$能用完全平方公式分解因式，所以$-kx=\pm 2× 2x× 1$，即$-kx=\pm 4x$，则$k=\pm 4$。
$\pm 4$
9.利用因式分解计算:$800^{2}-1600×798+798^{2}=$
4
.
答案：4
解析：
$800^{2}-1600×798+798^{2}$
$=800^{2}-2×800×798+798^{2}$
$=(800 - 798)^{2}$
$=2^{2}$
$=4$
10.已知$a+b= 8,a^{2}b^{2}= 4$,则$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}-ab= $
28或36
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答案：28或36
解析：
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{2}$
$\because a + b = 8$，$\therefore (a + b)^2 = 64$
$\because a^2b^2 = 4$，$\therefore ab = \pm 2$
当$ab = 2$时：
$\frac{64 - 4×2}{2} = \frac{56}{2} = 28$
当$ab = -2$时：
$\frac{64 - 4×(-2)}{2} = \frac{72}{2} = 36$
28或36
11.已知:$a= 6m-4n+13,b= -m^{2}-n^{2}$,且$a≤b$,则$m^{n}$的值等于
9
.
答案：9
12.将下列各式因式分解:
(1)$16-8(x+y)^{2}+(x+y)^{4};$
(2)$(x+y)^{2}-4(x+y-1);$
(3)$m^{4}-8m^{2}+16;$
(4)$(x^{2}+16y^{2})^{2}-64x^{2}y^{2}.$
答案：解:
(1)原式=$[(x+y)^{2}-4]^{2}=(x+y+2)^{2}(x+y-2)^{2}$.
(2)原式=$(x+y)^{2}-4(x+y)+4=(x+y-2)^{2}$.
(3)原式=$(m^{2}-4)^{2}=(m+2)^{2}(m-2)^{2}$.
(4)原式=$(x^{2}+16y^{2}+8xy)(x^{2}+16y^{2}-8xy)=(x+4y)^{2}(x-4y)^{2}$.
13.配方法是数学中非常重要的一种思想方法,是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法,这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决问题.
定义:若一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}$(a,b 为整数)的形式,则称这个数是“完美数”.
例如,5 是“完美数”,因为$5= 1^{2}+2^{2}$,所以 5 是“完美数”.
解决问题:(1)已知 29 是“完美数”,请将它写成$a^{2}+b^{2}$(a,b 为整数)的形式;
(2)若$x^{2}-4x+5可配方成(x-m)^{2}+n$(m,n 为常数)的形式,求 mn 的值;
(3)已知$S= x^{2}+4y^{2}+4x-12y+k$(x,y 是整数,k 是常数),要使 S 是“完美数”,试求出 k 的值.
答案：解:
(1)
∵29是"完美数",
∴29=$5^{2}+2^{2}$.
(2)
∵$x^{2}-4x+5=(x^{2}-4x+4)+1=(x-2)^{2}+1$,又
∵$x^{2}-4x+5=(x-m)^{2}+n$,
∴m=2,n=1,
∴mn=2×1=2.
(3)S=$x^{2}+4y^{2}+4x-12y+k=x^{2}+4x+4+4y^{2}-12y+9+k-13=(x+2)^{2}+(2y-3)^{2}+k-13$,
∵x,y是整数,
∴x+2,2y-3也是整数,要使S是"完美数",则k-13=0,
∴k=13.
