1. 将多项式 $3x^{2}-6x + 3$ 分解因式,下列结果正确的是(
D
)
A.$3(x^{2}-2x)$
B.$3x(x - 2)$
C.$3(x^{2}-2x + 1)$
D.$3(x - 1)^{2}$
答案：D
解析：
$3x^{2}-6x + 3=3(x^{2}-2x + 1)=3(x - 1)^{2}$，故选D。
2. 下列各式中不是多项式 $a^{2}b - 4b$ 的因式的是(
D
)
A.$b$
B.$a + 2$
C.$a - 2$
D.$a - 4$
答案：D
解析：
$a^{2}b - 4b = b(a^{2} - 4) = b(a + 2)(a - 2)$，因式有$b$、$a + 2$、$a - 2$，不是因式的是$a - 4$。
D
3. 已知 $xy = -\frac{1}{2},x + y = 5$,则 $2x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}= $
-25
。
答案：-25
解析：
$2x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}$
$=2xy(x^{2}+2xy+y^{2})$
$=2xy(x+y)^{2}$
当$xy = -\frac{1}{2}$，$x + y = 5$时，
原式$=2×(-\frac{1}{2})×5^{2}$
$=-1×25$
$=-25$
$-25$
4. 把下列各式因式分解：
(1) $-3ax^{2}+18axy - 27ay^{2}$；
(2) $3x(x - 4)+12$；
(3) $-2a^{3}+12a^{2}-18a$；
(4) $ax^{2}-16ay^{2}$。
答案：
(1)原式=-3a(x²-6xy+9y²)=-3a(x-3y)².
(2)原式=3x²-12x+12=3(x²-4x+4)=3(x-2)².
(3)原式=-2a(a²-6a+9)=-2a(a-3)².
(4)原式=a(x²-16y²)=a(x+4y)(x-4y).
5. 已知 $x - y = -4$,则多项式 $\frac{1}{2}x^{2}-xy+\frac{1}{2}y^{2}$ 的值为(
C
)
A.4
B.6
C.8
D.10
答案：C
解析：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x^{2}-xy+\frac{1}{2}y^{2}&=\frac{1}{2}(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=\frac{1}{2}(x - y)^{2}\\\because x - y = -4\\\therefore 原式&=\frac{1}{2}×(-4)^{2}\\&=\frac{1}{2}×16\\&=8\end{aligned}$
C
6. (2024 秋·永春县月考)某课外密码研究小组接收到一条密文：$8x(m^{2}-n^{2})-8y(m^{2}-n^{2})$。已知密码手册的部分信息如表所示：
|密文|…| $m - n$ | $m + n$ | $x - y$ | $x + y$ | 8 | $x$ |…|
|明文|…|我|爱|中|华|大|地|…|
把密文 $8x(m^{2}-n^{2})-8y(m^{2}-n^{2})$ 用因式分解解码后,明文可能是(
D
)
A.中华大地
B.爱我中华
C.爱大中华
D.我爱中大
答案：D
解析：
$8x(m^{2}-n^{2})-8y(m^{2}-n^{2})$
$=8(m^{2}-n^{2})(x - y)$
$=8(m - n)(m + n)(x - y)$
由密码手册知，$8$对应“大”，$m - n$对应“我”，$m + n$对应“爱”，$x - y$对应“中”，故明文为“我爱中大”。
D
7. 多项式 $4(x^{2}+1)+(x + 1)^{2}(x - 3)+(x - 1)^{3}$ 等于下列哪个选项(
B
)
A.$2x(x - 1)^{2}$
B.$2x(x + 1)(x - 1)$
C.$x(x + 1)(x - 1)$
D.$2(x - 1)^{2}(x + 1)$
答案：B
解析：
$4(x^{2}+1)+(x + 1)^{2}(x - 3)+(x - 1)^{3}$
$=4x^{2}+4+(x^{2}+2x + 1)(x - 3)+(x^{3}-3x^{2}+3x - 1)$
$=4x^{2}+4+x^{3}-3x^{2}+2x^{2}-6x + x - 3+x^{3}-3x^{2}+3x - 1$
$=(x^{3}+x^{3})+( - 3x^{2}+2x^{2}-3x^{2}+4x^{2})+( - 6x + x + 3x)+(4 - 3 - 1)$
$=2x^{3}-0x^{2}-2x+0$
$=2x^{3}-2x$
$=2x(x^{2}-1)$
$=2x(x + 1)(x - 1)$
B
8. (2024 秋·越秀区期中)若 $a + b = 3,ab = 2,x + y = -2$,则 $a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}-x - y + 2024$ 的值为
2044
。
答案：2044
解析：
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}-x - y + 2024$
$=ab(a^{2} + 2ab + b^{2})-(x + y)+2024$
$=ab(a + b)^{2}-(x + y)+2024$
当$a + b = 3$，$ab = 2$，$x + y=-2$时，
原式$=2×3^{2}-(-2)+2024$
$=2×9 + 2 + 2024$
$=18 + 2 + 2024$
$=2044$
2044
9. 如图①,在一个棱长为 $a$ 的正方体中挖去一个棱长为 $b$ 的小正方体$(a ＞ b)$,将剩余部分进行切割得到如图②所示的三个长方体。通过计算剩余部分的体积,可对多项式 $a^{3}-b^{3}$ 进行因式分解,即 $a^{3}-b^{3}=$
$(a-b)(a²+ab+b²)$
。
答案：(a-b)(a²+ab+b²)
解析：
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
