1.(2024·宁波模拟)下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是 (
A
)
A.$4x^{2}-4x+1$
B.$x^{2}+2x-1$
C.$x^{2}+xy+2y^{2}$
D.$9+x^{2}-4x$
答案：A
解析：
A选项：$4x^{2}-4x+1=(2x)^{2}-2×2x×1+1^{2}=(2x-1)^{2}$，符合完全平方公式形式。
B选项：$x^{2}+2x-1$，常数项为$-1$，不符合完全平方公式常数项为正的要求。
C选项：$x^{2}+xy+2y^{2}$，中间项应为$2xy$，此处为$xy$，且常数项系数为$2$不是平方数，不符合。
D选项：$9+x^{2}-4x=x^{2}-4x+9$，中间项应为$-6x$，此处为$-4x$，不符合。
结论：能直接用完全平方公式因式分解的是A选项。
A
2.已知$x^{2}+mx+4$是完全平方式,则 m 的值为 (
D
)
A.2
B.±2
C.4
D.±4
答案：D
解析：
因为$x^{2}+mx+4$是完全平方式，所以$x^{2}+mx+4=(x\pm2)^{2}$。
$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$，则$m=4$；
$(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$，则$m=-4$。
综上，$m=\pm4$。
D
3.因式分解:(1)$(a-b)^{2}+4ab=$
$(a+b)^{2}$
; (2)$x(x+4)+4=$
$(x+2)^{2}$
.
答案：
(1)$(a+b)^{2}$
(2)$(x+2)^{2}$
4.将下列各式因式分解:
(1)$x^{2}+8x+16;$
(2)$(x+y)^{2}-8(x+y)+16;$
(3)$y^{2}-y+\frac {1}{4};$
(4)$-6a+9a^{2}+1.$
答案：解:
(1)原式=$(x+4)^{2}$.
(2)原式=$(x+y-4)^{2}$.
(3)原式=$(y-\frac{1}{2})^{2}$.
(4)原式=$(3a-1)^{2}$.
5.三角形的三边长分别为 a,b,c,如果 a,b,c 满足$a^{2}-2ab+c^{2}-2bc+2b^{2}= 0$,那么这个三角形是 (
A
)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案：A
解析：
$\begin{aligned}a^{2}-2ab+c^{2}-2bc+2b^{2}&=0\\(a^{2}-2ab+b^{2})+(c^{2}-2bc+b^{2})&=0\\(a - b)^{2} + (c - b)^{2}&=0\end{aligned}$
因为$(a - b)^{2} \geq 0$，$(c - b)^{2} \geq 0$，所以$a - b = 0$且$c - b = 0$，即$a = b$，$c = b$，故$a = b = c$，这个三角形是等边三角形。
A
6.有两块总面积相等的场地,左边的场地为正方形,由四部分构成,各部分的面积数据如图所示.右边的场地为长方形,长为$2(a+b)$,则宽为 (
C
)
A.$\frac {1}{2}$
B.1
C.$\frac {1}{2}(a+b)$
D.$a+b$
答案：C
解析：
左边场地面积为$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。
右边场地面积与左边相等，为$(a + b)^2$，长为$2(a + b)$，则宽为$\frac{(a + b)^2}{2(a + b)} = \frac{1}{2}(a + b)$。
C
7.已知$a= \frac {1}{20}x+20,b= \frac {1}{20}x+19,c= \frac {1}{20}x+21$,那么代数式$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$的值是 (
B
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
解析：
设$ m = \frac{1}{20}x + 20 $，则$ a = m $，$ b = m - 1 $，$ c = m + 1 $。
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac&=\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]\\&=\frac{1}{2}[(m - (m - 1))^2 + ((m - 1) - (m + 1))^2 + ((m + 1) - m)^2]\\&=\frac{1}{2}[(1)^2 + (-2)^2 + (1)^2]\\&=\frac{1}{2}(1 + 4 + 1)\\&=\frac{1}{2} × 6\\&=3\end{aligned}$
答案：B
