9. 分解因式: $(a + b)^{2}-b^{2}=$
a(a + 2b)
; $a^{4}-1=$
(a² + 1)(a + 1)(a - 1)
.
答案：a(a + 2b); (a² + 1)(a + 1)(a - 1)
解析：
$(a + b)^{2}-b^{2}=(a + b + b)(a + b - b)=a(a + 2b)$; $a^{4}-1=(a^{2})^{2}-1^{2}=(a^{2} + 1)(a^{2} - 1)=(a^{2} + 1)(a + 1)(a - 1)$
10. 若$m^{2}= n + 2024,n^{2}= m + 2024(m\neq n)$,则代数式$m^{3}-2mn + n^{3}$的值是
-2024
.
答案：-2024
解析：
由题意得：
$\begin{cases}m^2 = n + 2024 & (1) \\n^2 = m + 2024 & (2)\end{cases}$
(1)-
(2)得：$m^2 - n^2 = n - m$，即$(m - n)(m + n) = -(m - n)$。
因为$m \neq n$，所以$m + n = -1$。
$m^3 - 2mn + n^3 = m \cdot m^2 + n \cdot n^2 - 2mn$，
将
(1)
(2)代入得：
$m(n + 2024) + n(m + 2024) - 2mn = mn + 2024m + mn + 2024n - 2mn = 2024(m + n)$。
因为$m + n = -1$，所以原式$= 2024 × (-1) = -2024$。
-2024
11. 因式分解:
(1)$(a - 2)x^{2}+9(2 - a)$; (2)$(p - 2q)^{2}-(2p - q)^{2}$;
(3)$25(m + n)^{2}-9(m - n)^{2}$; (4)$81a^{4}-b^{4}$.
答案：解:
(1)原式=(a - 2)(x² - 9)=(a - 2)(x - 3)(x + 3).
(2)原式=[(p - 2q) + (2p - q)][(p - 2q) - (2p - q)]=-3(p - q)(p + q).
(3)原式=[5(m + n) + 3(m - n)][5(m + n) - 3(m - n)]=4(4m + n)(m + 4n).
(4)原式=(9a² + b²)(9a² - b²)=(9a² + b²)(3a + b)(3a - b).
12. 利用因式分解简便计算:
(1)$1.95^{2}-2.95^{2}$; (2)$\frac{1000^{2}}{252^{2}-248^{2}}$.
答案：解:
(1)原式=(1.95 - 2.95)×(1.95 + 2.95)= - 4.9.
(2)原式=$\frac{1000^{2}}{(252 – 248)×(252 + 248)}=\frac{1000^{²}}{2000}=500$.
13. 证明:当$n$为整数时,$(n + 14)^{2}-n^{2}$能被 28 整除.
答案：证明:(n + 14)² - n²=[(n + 14) + n][(n + 14) – n]=(2n + 14)×14 = 28(n + 7),又n为整数,
∴(n + 14)² - n²能被28整除.
14. 根据以下 10 个乘积,回答问题:
$11×29,12×28,13×27,14×26,15×25,16×24,17×23,18×22,19×21,20×20$.
(1)试将以上各乘积分别写成“$□^{2}-○^{2}$”(两数平方差)的形式,并写出其中一个的思考过程;
(2)请你将以上 10 个乘积按照结果从小到大的顺序排列起来.
答案：解:
(1)11×29 = $20^{2} - 9^{2}$; 12×28 = $20^{2} - 8^{2}$; 13×27 = $20^{2} - 7^{2}$; 14×26 = $20^{²} - 6^{2}$; 15× = $20^{2} - 5^{2}$; 16×24 = $^{2} - 4^{2}$; × = $2^{2} – 3^{2}$; 18×22 = $20^{2} – 2^{2}$; 19×21 = $20^{2} - 1^{2}$; 20×20 = $20^{2} - $0^{2}。例如:11×29。假设11×29=□² - ○²,
∵□² - ○²=(□ + ○)(□ - ○),
∴可以令□ - ○=11,□ + ○=29,解得□=20,○=9,故11×29= $20^{2} - 9^{2}$. 或11×29=(20 - 9)×(20 + 9)= $20^{2} - 9^{2}$.
(2)这10个乘积按照结果从小到大的顺序排列依次是11×29＜12×28＜13×＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×
