1. (2024·宁波模拟)下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 (
B
)
A.$x^{2}+4y^{2}$
B.$-x^{2}+4y^{2}$
C.$x^{2}-2y+1$
D.$-x^{2}-4y^{2}$
答案：B
解析：
平方差公式为$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，其特点是两项式，且两项符号相反，均为平方形式。
选项A：$x^{2}+4y^{2}$，两项符号相同，不符合平方差公式特点。
选项B：$-x^{2}+4y^{2}=4y^{2}-x^{2}=(2y)^{2}-x^{2}$，是两项式，两项符号相反，均为平方形式，符合平方差公式特点。
选项C：$x^{2}-2y+1$，是三项式，不符合平方差公式特点。
选项D：$-x^{2}-4y^{2}$，两项符号相同，不符合平方差公式特点。
B
2. (2024·杭州)分解因式$9x^{2}-y^{2}$的结果是 (
C
)
A.$(9x+y)(9x-y)$
B.$9(x+y)(x-y)$
C.$(3x+y)(3x-y)$
D.$3(x+y)(x-y)$
答案：C
解析：
$9x^{2}-y^{2}=(3x)^{2}-y^{2}=(3x+y)(3x-y)$，故选C。
3. 已知$a - b = 2$,则$a^{2}-b^{2}-4b$的值为 (
B
)
A.5
B.4
C.2
D.1
答案：B
解析：
因为$a - b = 2$，所以$a = b + 2$。
将$a = b + 2$代入$a^2 - b^2 - 4b$可得：
$\begin{aligned}&(b + 2)^2 - b^2 - 4b\\=&b^2 + 4b + 4 - b^2 - 4b\\=&4\end{aligned}$
B
4. 因式分解: (1)$a^{2}-16b^{2}=$
(a + 4b)(a - 4b)
; (2)$\frac{1}{4}x^{2}-4y^{2}=$
($\frac{1}{2}$x + 2y)($\frac{1}{2}$x - 2y)
;
(3)$a^{2}-9b^{2}=$
(a + 3b)(a - 3b)
; (4)$x^{2}y - y^{3}=$
y(x + y)(x - y)
.
答案：
(1)(a + 4b)(a - 4b);
(2)($\frac{1}{2}$x + 2y)($\frac{1}{2}$x - 2y);
(3)(a + 3b)(a - 3b);
(4)y(x + y)(x - y)
5. 对下列多项式进行因式分解:
(1)$\frac{1}{4}ax^{2}-9ay^{2}$; (2)$-32x^{4}+2x^{2}$;
(3)$4(2m + n)^{2}-9(m - 2n)^{2}$; (4)$9a^{2}-(2a - 3b)^{2}$;
(5)$x^{3}y - xy^{3}$; (6)$x^{3}-4xy^{2}$.
答案：(暂未获取到准确答案，需核对原始参考答案)
解析：
(1)$\frac{1}{4}ax^{2}-9ay^{2}=a\left(\frac{1}{4}x^{2}-9y^{2}\right)=a\left(\frac{1}{2}x+3y\right)\left(\frac{1}{2}x-3y\right)$
(2)$-32x^{4}+2x^{2}=-2x^{2}(16x^{2}-1)=-2x^{2}(4x+1)(4x-1)$
(3)$4(2m + n)^{2}-9(m - 2n)^{2}=[2(2m+n)+3(m-2n)][2(2m+n)-3(m-2n)]=(4m+2n+3m-6n)(4m+2n-3m+6n)=(7m-4n)(m+8n)$
(4)$9a^{2}-(2a - 3b)^{2}=[3a+(2a-3b)][3a-(2a-3b)]=(3a+2a-3b)(3a-2a+3b)=(5a-3b)(a+3b)$
(5)$x^{3}y - xy^{3}=xy(x^{2}-y^{2})=xy(x+y)(x-y)$
(6)$x^{3}-4xy^{2}=x(x^{2}-4y^{2})=x(x+2y)(x-2y)$
6. 已知$a,b,c$是三角形的三条边长,那么代数式$(a - b)^{2}-c^{2}$的值 (
C
)
A.大于 0
B.等于 0
C.小于 0
D.无法确定大小
答案：C
解析：
$(a - b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
因为$a,b,c$是三角形的三条边长，所以$a + c ＞ b$，$b + c ＞ a$，
即$a - b + c ＞ 0$，$a - b - c ＜ 0$，
因此$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，
故代数式的值小于0。
C
7. 化简$(a + b + c)^{2}-(a - b + c)^{2}$的结果为 (
A
)
A.$4ab + 4bc$
B.$4ac$
C.$2ac$
D.$4ab - 4bc$
答案：A
解析：
$(a + b + c)^{2}-(a - b + c)^{2}$
$=[(a + c) + b]^{2}-[(a + c) - b]^{2}$
$=(a + c)^{2}+2b(a + c)+b^{2}-[(a + c)^{2}-2b(a + c)+b^{2}]$
$=(a + c)^{2}+2ab + 2bc + b^{2}-(a + c)^{2}+2ab + 2bc - b^{2}$
$=4ab + 4bc$
A
8. (2024·合肥期末)已知$\triangle ABC的三边长分别为a,b,c$,且满足$a^{2}-b^{2}= ac - bc$,则$\triangle ABC$一定是 (
A
)
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.直角三角形
答案：A
解析：
$a^{2}-b^{2}=ac - bc$，
$(a+b)(a-b)=c(a - b)$，
$(a+b)(a-b)-c(a - b)=0$，
$(a-b)(a+b - c)=0$，
因为$\triangle ABC$的三边长分别为$a,b,c$，所以$a+b - c＞0$，
则$a - b=0$，即$a=b$，
所以$\triangle ABC$一定是等腰三角形。
A
