3. 阅读教材第 119 页数学活动 2,解决下列问题:
(1)计算下列两组数的积(每组中两个数的和为定值),你能发现结果有什么规律吗?
①$20×20,25×15,27×13,33×7$;
②$40×40,43×37,54×26,61×19$.
(2)你能利用所学知识解释你发现的规律吗?
(3)用 12 米长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是多少? 此时长方形的两条邻边有什么关系? 你能得出更一般的结论吗?
答案：
(1)①$20×20=400$,$25×15=375$,$27×13=351$,$33×7=231$;
②$40×40=1600$,$43×37=1591$,$54×26=1404$,$61×19=1159$.
规律:两个数的和一定时,这两个数的差越小,它们的积越大.
(2)设两个数的和为m,差为n,积为y,则其中一个数为$\frac {m+n}{2}$,另一个数为$\frac {m-n}{2}$,则$y=\frac {m+n}{2}\cdot \frac {m-n}{2}=\frac {m^{2}-n^{2}}{4}$,因为m为定值,所以n越大,y越小,当$n=0$时,y有最大值$\frac {m^{2}}{4}$,即两个数相等时积最大,随着两数差的增大,积逐渐减小.
(3)设长方形的长为x米,则宽为$(6-x)$米,面积为$x(6-x)=-x^{2}+6x=-(x-3)^{2}+9$.
所以当$x=3$时,长方形的面积最大,为9平方米,此时长方形的两条邻边相等,为正方形.
一般结论:①当两个正数的和一定时,这两个数相等时它们的乘积最大;②当长方形的周长固定时,长和宽相等时,面积最大.
