2025年启东中学作业本八年级数学上册人教版第104页解析答案

1. 阅读教材第 118 页阅读与思考,解决下列问题:
“杨辉三角”(如图)的构造法则为:两腰上的数都是 1,其余每个数均为它上方左右两数之和.事实上,这个三角形给出了$(a + b)^n(n = 0,1,2,3,…)$的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数 1,2,1,恰好对应$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$展开式中各项的系数;第四行的四个数 1,3,3,1,恰好对应$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$展开式中各项的系数;等等.
根据上面的规律,请你解答下列问题.
(1)计算:$(a + b)^0 = $

;$(a + b\neq0)$
(2)若$(a + b)^4 = a^4 + ma^3b + na^2b^2 + 4ab^3 + b^4$(m,n 是常数),则$m = $

,n =

;
(3)若$(a + b)^5 = a^5 + xa^4b + 10a^3b^2 + ya^2b^3 + 5ab^4 + b^5$(x,y 是常数),则$x = $

,y =

;
(4)求式子$7^5 - 5×7^4×5 + 10×7^3×5^2 + 10×7^2×(-125) + 5×7×(-5)^4 - 5^5$的值.

解:由(3)可得$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$,
$\therefore 7^{5}-5×7^{4}×5+10×7^{3}×5^{2}+10×7^{2}×(-125)+5×7×(-5)^{4}-5^{5}$
$=7^{5}+5×7^{4}×(-5)+10×7^{3}×(-5)^{2}+10×7^{2}×(-5)^{3}+5×7×(-5)^{4}+(-5)^{5}$
$=[7+(-5)]^{5}$
$=2^{5}$
$=32.$

答案：
(1)1
(2)4 6
(3)5 10
(4)解:由
(3)可得$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$,
$\therefore 7^{5}-5×7^{4}×5+10×7^{3}×5^{2}+10×7^{2}×(-125)+5×7×(-5)^{4}-5^{5}$
$=7^{5}+5×7^{4}×(-5)+10×7^{3}×(-5)^{2}+10×7^{2}×(-5)^{3}+5×7×(-5)^{4}+(-5)^{5}$
$=[7+(-5)]^{5}$
$=2^{5}$
$=32.$

2. 阅读教材第 119 页数学活动 1,解决下列问题:
如图是某月的月历.

(1)选取如图所示的$2×2$方框部分,将每个方框中 4 个位置上的数交叉相乘,再相减.对于图中选取的方框,计算$5×13 - 6×12$,再选择几个类似的部分试一试,能得出什么规律?
(2)请利用整式的运算对上述规律加以证明.
(3)若在月历中选取的方框的大小为$3×3$,是否还有类似的规律?

答案：
(1)$5×13-6×12=65-72=-7$.再选取其他$2×2$方框,如$1×9-2×8=-7,18×26-19×25=-7,22×30-23×29=-7$.发现规律:结果都为-7.
(2)设月历中$2×2$方框左上角的数为n,则右上角的数为$n+1$,左下角的数为$n+7$,右下角的数为$n+8$.
$n(n+8)-(n+1)(n+7)=n^{2}+8n-(n^{2}+7n+n+7)=n^{2}+8n-n^{2}-8n-7=-7$.
(3)设月历中$3×3$方框左上角的数为n.
则这9个数分别为:
第一行:n,$n+1$,$n+2$;
第二行:$n+7$,$n+8$,$n+9$;
第三行:$n+14$,$n+15$,$n+16$.
交叉相乘再相减,$n(n+16)-(n+2)(n+14)=n^{2}+16n-(n^{2}+16n+28)=n^{2}+16n-n^{2}-16n-28=-28$.
结论:当方框大小为$3×3$时,也有类似规律,即月历中$3×3$方框中4个角上的数,按交叉相乘再相减的方式运算,结果为固定值-28,和$2×2$方框结果为固定值-7一样,都是一个固定的差值,不过固定值与方框大小有关.