1. 我们生活中有许多角,量出下图中标出的每个角的度数。
30 60 150
答案：30 60 150
(1)(2025·扬州宝应县期末)清代高鼎用“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”生动描绘了儿童放风筝的情景。如果把风筝线和地面的夹角记作∠1,∠1等于下面四个角度中的
(
D
)时,风筝飞得最高。
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 75^{\circ} $
答案：解析：本题可根据风筝高度与风筝线和地面夹角的关系，结合三角函数的性质来判断哪个角度能使风筝飞得最高。
在直角三角形中，风筝的高度与风筝线的长度和风筝线与地面的夹角有关。设风筝线长度为$L$（定值），风筝线与地面的夹角为$\theta$，风筝的高度为$h$，根据正弦函数的定义$\sin\theta=\frac{h}{L}$，可得$h = L\sin\theta$。
因为$L$是定值，所以$\sin\theta$越大，$h$就越大，即风筝飞得越高。
分别计算各选项中角度的正弦值：
选项A：$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}=0.5$；
选项B：$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$；
选项C：因为$\theta = 120^{\circ}$，$\sin120^{\circ}=\sin(180^{\circ}-60^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，但风筝线和地面的夹角是锐角，$120^{\circ}$不符合实际情况，舍去；
选项D：$\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0.966$。
比较$0.5$，$0.707$，$0.966$的大小，可得$0.5\lt0.707\lt0.966$，即$\sin75^{\circ}$最大。
所以当$\angle1 = 75^{\circ}$时，风筝飞得最高。
答案：D。
(2)“小马虎”用量角器测量一个角时,由于误把外圈刻度当成内圈刻度而读数为 $ 125^{\circ} $,正确的度数应该是(
A
)。
A.$ 55^{\circ} $
B.$ 75^{\circ} $
C.$ 125^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $
答案：分析：
本题考查的是量角器的使用。
量角器上，内圈刻度和外圈刻度是相对的，两者之和为$180^\circ$。
由于误把外圈刻度当成内圈刻度而读数为 $125^\circ$，那么正确的度数应该是 $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$。
答案：
A
3. 下面两个量角器量角的方法都正确,分别写出这两个角的度数。
150°
70°或110°
答案：$150^{\circ}$ $70^{\circ}$或$110^{\circ}$
4.(2025·苏州张家港市期末)一把由9根竹签均匀组成的纸扇(如图)完全打开后成 $ 144^{\circ} $的角,每相邻两根竹签所形成的角的度数为(
C
)。
A.$ 16^{\circ} $
B.$ 17^{\circ} $
C.$ 18^{\circ} $
D.$ 20^{\circ} $
答案：C
解析：
解：9根竹签将纸扇分成的角的数量为：9 - 1 = 8（个）
每相邻两根竹签所形成的角的度数为：144°÷8 = 18°
答案：C
5. 量一量下面各角的度数,并算一算。
我发现:
四边形四个角的度数和是$360^{\circ}$
。
答案：$90^{\circ}$ $110^{\circ}$ $90^{\circ}$ $70^{\circ}$ $360^{\circ}$ $40^{\circ}$ $100^{\circ}$ $100^{\circ}$ $120^{\circ}$ $360^{\circ}$ 四边形四个角的度数和是$360^{\circ}$
解析：
①∠1=90°，∠2=110°，∠3=90°，∠4=70°，90°+110°+90°+70°=360°
②∠1=40°，∠2=100°，∠3=100°，∠4=120°，40°+100°+100°+120°=360°
四边形四个角的度数和是360°
6. 从4时到6时,时针走了(
60
)°;2时整,时针与分针所夹的较小角是(
60
)°,再走30分钟,时针与分针所夹的较小角是(
105
)°。
答案：60 60 105
解析：
解：钟面一圈为360°，共12个大格，每个大格为360°÷12=30°。
从4时到6时，时针走了2个大格，30°×2=60°；
2时整，时针与分针间有2个大格，较小角是30°×2=60°；
再走30分钟，即2时30分，分针指向6，时针在2和3正中间，时针与分针间有3.5个大格，较小角是30°×3.5=105°。
60 60 105
7. 新趋势 推导探究 在同一平面内有15条直线,这些直线最多能形成多少个交点? 把下表填写完整。
105
14
答案：105 14
解析：
解：两条直线相交最多有1个交点；三条直线相交最多有1+2=3个交点；四条直线相交最多有1+2+3=6个交点……n条直线相交最多有$1+2+3+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$个交点。
当n=15时，交点个数为$\frac{15×(15-1)}{2}=\frac{15×14}{2}=105$。
表格填写：105，14。
答：15条直线最多能形成105个交点，表格中依次填105，14。
