1. (2024·兰州)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC,∠BAC=130^{\circ },DA⊥AC$,则$∠ADB=$ (
B
)
A.$100^{\circ }$
B.$115^{\circ }$
C.$130^{\circ }$
D.$145^{\circ }$
答案：B
2. 某城市几条道路的位置关系如图所示,道路$AB// CD$,道路$AB$与$AE$的夹角$∠BAE=54^{\circ }$,城市规划部门想新修一条道路$CE$,要求使$CF=EF$,则$∠E$的度数为 (
C
)
A.$23^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$27^{\circ }$
D.$30^{\circ }$
答案：C
3. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC=5cm$,$BP$,$CP$分别是$∠ABC$和$∠ACB$的平分线,且$PD// AB$,$PE// AC$,则$\triangle PDE$的周长是
5
cm.
答案：5
4. (2024·徐州期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AD⊥BC$,点$E$在$CA$的延长线上,$EF// AD$.求证:$AE=AF$.
证明：
$\because AB = AC$，$AD \perp BC$，$\therefore \angle BAD = \angle DAC$。$\because EF // AD$，$\therefore \angle BAD = \angle AFE$，$\angle DAC = \angle E$，$\therefore \angle E = \angle AFE$，$\therefore AE = AF$。
答案：证明：$\because AB = AC$，$AD \perp BC$，
$\therefore \angle BAD = \angle DAC$。$\because EF // AD$，
$\therefore \angle BAD = \angle AFE$，$\angle DAC = \angle E$，
$\therefore \angle E = \angle AFE$，$\therefore AE = AF$。
5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD⊥BC$,$∠B=62^{\circ }$,$AB+BD=CD$,则$∠BAC$的度数为 (
A
)
A.$87^{\circ }$
B.$88^{\circ }$
C.$89^{\circ }$
D.$90^{\circ }$
答案：A
6. (2023·如皋月考)如图,在$\triangle ABC$中,$D$为边$AC$上一点,且$BD$平分$∠ABC$,过点$A$作$AE⊥BD$于点$E$.若$∠ABC=52^{\circ }$,$∠C=32^{\circ }$,$AB=5.2$,$BC=9.8$,则$AE=$
2.3
.
答案：1. 首先求$\angle BAC$的度数：
根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle ABC + \angle C=180^{\circ}$。
已知$\angle ABC = 52^{\circ}$，$\angle C = 32^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC - \angle C=180^{\circ}-52^{\circ}-32^{\circ}=96^{\circ}$。
2. 然后利用角平分线性质：
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC$。
又$\angle ABC = 52^{\circ}$，则$\angle ABD = 26^{\circ}$。
3. 接着延长$AE$交$BC$于点$F$：
因为$AE\perp BD$，即$\angle AEB=\angle FEB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FBE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABE=\angle FBE\\ BE = BE\\ \angle AEB=\angle FEB\end{array}\right.$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，$\triangle ABE\cong\triangle FBE$。
所以$AE = FE$，$AB = FB=5.2$（全等三角形对应边相等）。
那么$FC=BC - FB$，已知$BC = 9.8$，$FB = 5.2$，则$FC=9.8 - 5.2=4.6$。
且$\angle BAE=\angle BFE$（全等三角形对应角相等）。
因为$\angle BAC = 96^{\circ}$，所以$\angle BFE=\angle BAE$，$\angle FAC=\angle BAC-\angle BAE$，$\angle AFC = 180^{\circ}-\angle BFE$，所以$\angle FAC=\angle C$。
所以$AF = FC$（等角对等边）。
又因为$AF = 2AE$，$FC = 4.6$。
所以$AE = 2.3$。
故答案为$2.3$。
7. 如图,$\triangle ABC$的面积为$10cm^{2}$,$AP$垂直于$∠ABC$的平分线$BP$于点$P$,则$\triangle PBC$的面积是
$5cm^{2}$
.
答案：1. 延长$AP$交$BC$于点$Q$：
因为$BP$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABP = \angle QBP$。
又因为$BP\perp AP$，即$\angle APB=\angle QPB = 90^{\circ}$，且$BP = BP$（公共边）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理：在$\triangle ABP$和$\triangle QBP$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABP=\angle QBP\\BP = BP\\\angle APB=\angle QPB\end{array}\right.$，所以$\triangle ABP\cong\triangle QBP$。
由全等三角形的性质可知$AP = QP$，$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle QBP}$（全等三角形面积相等）。
2. 分析$\triangle APC$和$\triangle QPC$的面积关系：
对于$\triangle APC$和$\triangle QPC$，它们有相同的高（以$C$到$AQ$的距离为高），且$AP = QP$（已证）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），设$C$到$AQ$的距离为$h$，$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AP\cdot h$，$S_{\triangle QPC}=\frac{1}{2}QP\cdot h$，所以$S_{\triangle APC}=S_{\triangle QPC}$。
3. 计算$S_{\triangle PBC}$：
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle APC}+S_{\triangle PBC}$，又$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle QBP}$，$S_{\triangle APC}=S_{\triangle QPC}$。
而$S_{\triangle PBC}=S_{\triangle QBP}+S_{\triangle QPC}$。
所以$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
已知$S_{\triangle ABC}=10cm^{2}$，则$S_{\triangle PBC}=5cm^{2}$。
故答案为$5cm^{2}$。
