9.「2024山东东营中考,★☆」已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的图象如图所示,则下列结论正确的是(
D
)
A. $abc ＜ 0$
B. $a - b = 0$
C. $3a - c = 0$
D. $am^{2}+bm \leq a - b$($m$为任意实数)
答案：D 由函数图象可知，$a\lt0$，$b\lt0$，$c\gt0$，$\therefore abc\gt0$，故A不符合题意；$\because$ 抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$，$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{-3 + 1}{2}=-1$，$\therefore b = 2a$，$\therefore 2a - b = 0$，故B不符合题意；把$(1,0)$代入解析式，得$a + b + c = 0$，将$b = 2a$代入$a + b + c = 0$，得$a + 2a + c = 0$，$\therefore 3a + c = 0$，故C不符合题意；$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线开口向下，$\therefore$ 当$x=-1$时，函数取得最大值，为$a - b + c$，$\therefore$ 对于抛物线上的任意一点（横坐标为$m$），总有$am^{2}+bm + c\leqslant a - b + c$，$\therefore am^{2}+bm\leqslant a - b$，故D符合题意.故选D.
10.「2025江苏苏州平江中学月考,★☆」二次函数$y = ax^{2}+6x + a$的最小值是8,则$a = $
9
。
答案：答案 9
解析 $\because$ 二次函数$y = ax^{2}+6x + a$的最小值是8，$\therefore a\gt0$，$y_{最小值}=\frac{4a^{2}-36}{4a}=8$，整理，得$a^{2}-8a - 9 = 0$，解得$a = 9$或$-1$，$\because a\gt0$，$\therefore a = 9$.
11.「2024四川成都中考,★☆」在平面直角坐标系$xOy$中,$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,$C(x_{3},y_{3})$是二次函数$y = -x^{2}+4x - 1$图象上的三点。若$0 ＜ x_{1} ＜ 1$,$x_{2} ＞ 4$,则$y_{1}$____
＞
____$y_{2}$(填“＞”或“＜”)；若对于$m ＜ x_{1} ＜ m + 1$,$m + 1 ＜ x_{2} ＜ m + 2$,$m + 2 ＜ x_{3} ＜ m + 3$,存在$y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$,则$m$的取值范围是____
$-\frac{1}{2}\lt m\lt1$
____。
答案：答案 $\gt$；$-\frac{1}{2}\lt m\lt1$
解析 $\because y=-x^{2}+4x - 1=-(x - 2)^{2}+3$，$\therefore$ 图象的对称轴为直线$x = 2$，开口向下，$\because 0\lt x_{1}\lt1$，$x_{2}\gt4$，$\therefore 2 - x_{1}\lt x_{2}-2$，即$A(x_{1},y_{1})$比$B(x_{2},y_{2})$离对称轴的距离近，$\therefore y_{1}\gt y_{2}$；$\because m\lt x_{1}\lt m + 1$，$m + 1\lt x_{2}\lt m + 2$，$m + 2\lt x_{3}\lt m + 3$，$\therefore x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$，$\because$ 对于$m\lt x_{1}\lt m + 1$，$m + 1\lt x_{2}\lt m + 2$，$m + 2\lt x_{3}\lt m + 3$，存在$y_{1}\lt y_{3}\lt y_{2}$，$\therefore x_{1}\lt2$，$x_{3}\gt2$，且$A(x_{1},y_{1})$离对称轴的距离最远，$B(x_{2},y_{2})$离对称轴的距离最近，$\therefore 2 - x_{1}\gt x_{3}-2\gt|x_{2}-2|$，$\therefore x_{1}+x_{3}\lt4$，且$x_{2}+x_{3}\gt4$，$\because 2m + 2\lt x_{1}+x_{3}\lt2m + 4$，$2m + 3\lt x_{2}+x_{3}\lt2m + 5$，$\therefore 2m + 2\lt4$，且$2m + 5\gt4$，解得$-\frac{1}{2}\lt m\lt1$.
12.「2025浙江杭州上城期中,★☆」已知某二次函数图象上部分点的横坐标$x与纵坐标y$的对应值如表所示：
(1) 直接写出$m$,$n$的值,并求当$x$在什么范围时,$y随x$的增大而增大。$m=$
0
，$n=$
4
；当$x$
$\lt2$
时,$y随x$的增大而增大。
(2) 若点$(p,q)$在该二次函数图象上,当$-1 \leq p \leq 4$时,求$q$的取值范围。
$-8\leqslant q\leqslant1$
答案：解析 (1)由表格知$x=-1$时，$y=-8$；$x = 5$时，$y=-8$，$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1 + 5}{2}=2$，$\because \frac{1 + 3}{2}=2$，$\therefore$ 点$(1,m)$与点$(3,0)$是关于直线$x = 2$对称的点，$\therefore m = 0$，$\because$ 当$x = 0$时，$y=-3$；当$x = n$时，$y=-3$，$\therefore \frac{0 + n}{2}=2$，$\therefore n = 4$.
结合题表可得，当$x\lt2$时，$y$随$x$的增大而增大.
(2)$\because$ 抛物线对称轴为直线$x = 2$，当$x\lt2$时，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$ 该抛物线开口向下，当$x = 2$时，$y$取得最大值，为1，$\because |-1 - 2|\gt|4 - 2|$，$\therefore$ 当$x=-1$时，$y$取得最小值，为$-8$，$\because -1\leqslant p\leqslant4$，$\therefore -8\leqslant q\leqslant1$.
13. 设$P(x,y_{1})$,$Q(x,y_{2})分别是函数C_{1}$,$C_{2}$图象上的点,当$a \leq x \leq b$时,$-1 \leq y_{1}-y_{2} \leq 1$恒成立,则称函数$C_{1}$,$C_{2}在a \leq x \leq b$上是“逼近函数”,$a \leq x \leq b$为“逼近区间”。则下列结论：①函数$y_{1} = x - 5$,$y_{2} = 3x + 2在1 \leq x \leq 2$上是“逼近函数”；②函数$y_{1} = x - 5$,$y_{2} = x^{2}-4x在3 \leq x \leq 4$上是“逼近函数”；③$0 \leq x \leq 1是函数y_{1} = x^{2}-1$,$y_{2} = 2x^{2}-x$的“逼近区间”；④$2 \leq x \leq 3是函数y_{1} = x - 5$,$y_{2} = x^{2}-4x$的“逼近区间”。其中正确的为(
②③
)
A. ②③
B. ①④
C. ①③
D. ②④
答案：A ①$y_{1}-y_{2}=-2x - 7$，在$1\leqslant x\leqslant2$上，当$x = 1$时，$y_{1}-y_{2}=-9$，当$x = 2$时，$y_{1}-y_{2}=-11$，可知$-11\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant-9$，故函数$y_{1}=x - 5$，$y_{2}=3x + 2$在$1\leqslant x\leqslant2$上不是“逼近函数”，①结论不正确；②$y_{1}-y_{2}=-x^{2}+5x - 5$，在$3\leqslant x\leqslant4$上，当$x = 3$时，$y_{1}-y_{2}=1$，当$x = 4$时，$y_{1}-y_{2}=-1$，所以$-1\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant1$，故函数$y_{1}=x - 5$，$y_{2}=x^{2}-4x$在$3\leqslant x\leqslant4$上是“逼近函数”，②结论正确；③$y_{1}-y_{2}=-x^{2}+x - 1$，在$0\leqslant x\leqslant1$上，当$x=\frac{1}{2}$时，$y_{1}-y_{2}=-\frac{3}{4}$，当$x = 0$或1时，$y_{1}-y_{2}=-1$，可知$-1\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant-\frac{3}{4}$，所以$-1\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant1$成立，故$0\leqslant x\leqslant1$是函数$y_{1}=x^{2}-1$，$y_{2}=2x^{2}-x$的“逼近区间”，③结论正确；④$y_{1}-y_{2}=-x^{2}+5x - 5$，在$2\leqslant x\leqslant3$上，当$x=\frac{5}{2}$时，$y_{1}-y_{2}=\frac{5}{4}$，当$x = 2$或3时，$y_{1}-y_{2}=1$，可知$1\leqslant y_{1}-y_{2}\leqslant\frac{5}{4}$，故$2\leqslant x\leqslant3$不是函数$y_{1}=x - 5$，$y_{2}=x^{2}-4x$的“逼近区间”，④结论不正确.故选A.
例题 「2025浙江宁波慈溪期中」若二次函数$y = x^{2}+2x - 3(m \leq x \leq 2)的最小值为-4$,最大值为5,则$m$的取值范围是____。
答案：答案 $-4\leqslant m\leqslant-1$
解析 如图，$\because y=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，$\therefore$ 对称轴为直线$x=-1$，函数的最小值为$-4$，$\because m\leqslant x\leqslant2$时，函数的最小值为$-4$，最大值为5，$\therefore$ 令$y = 5$，则$(x + 1)^{2}-4 = 5$，解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=2$，$\therefore m$的取值范围为$-4\leqslant m\leqslant-1$.
变式1【定轴动区间】「2025江苏苏州振华中学月考」已知$y = x^{2}-4x + 3$,当$m \leq x \leq m + 2$时,函数$y的最小值为\frac{5}{4}$,则$m$的值为
$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
。
答案：答案 $-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
解析 $\because$ 二次函数$y=x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1$，$\therefore$ 对称轴为直线$x = 2$.
①若$m + 2\lt2$，即$m\lt0$，则当$x = m + 2$时，$y$的最小值是$\frac{5}{4}$，$\therefore (m + 2 - 2)^{2}-1=m^{2}-1=\frac{5}{4}$，$\therefore m=-\frac{3}{2}$或$m=\frac{3}{2}$（舍去）；
②若$m\gt2$，则当$x = m$时，$y$的最小值为$\frac{5}{4}$，$\therefore (m - 2)^{2}-1=\frac{5}{4}$，$\therefore m=\frac{7}{2}$或$m=\frac{1}{2}$（舍去）；
③若$m\lt2\lt m + 2$，则当$x = 2$时，$y$的最小值为$-1$，不符合题意.
综上所述，$m$的值为$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$.
变式2【动轴定区间】当$1 \leq x \leq 4$时,函数$y = x^{2}-2ax - 1有最小值-5$,则实数$a$的值是
2
。
答案：答案 2
解析 易知函数$y=x^{2}-2ax - 1$的图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2\times1}=a$，
若$a\leqslant1$，则当$x = 1$时，函数取最小值，
此时$y = 1-2a - 1=-5$，解得$a = 2.5$（不合题意，舍去）；
若$a\geqslant4$，则当$x = 4$时，函数取最小值，
此时$y = 16-8a - 1=-5$，解得$a = 2.5$（不合题意，舍去）；
若$1\lt a\lt4$，则当$x = a$时，函数取最小值，
此时$y=a^{2}-2a^{2}-1=-5$，解得$a_{1}=2$，$a_{2}=-2$（舍去）.
综上，实数$a$的值是2.
