1.「2025广东广州海珠月考」一抛物线的形状、开口方向与抛物线$y= \frac {1}{2}x^{2}+4x-3$相同,顶点为$(-3,2)$,则此抛物线的解析式为 (
B
)
A.$y= \frac {1}{2}(x-3)^{2}+2$
B.$y= \frac {1}{2}(x+3)^{2}+2$
C.$y= \frac {1}{2}(x-3)^{2}-2$
D.$y= \frac {1}{2}(x+3)^{2}-2$
答案：B ∵ 一抛物线的形状、开口方向与抛物线 $y=\frac{1}{2}x^{2}+4x - 3$ 相同，∴ 该抛物线二次项系数为 $\frac{1}{2}$，又 ∵ 顶点为 $(-3,2)$，∴ 该抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{2}(x + 3)^{2}+2$。故选 B。
2.「2025甘肃平凉崆峒月考」已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c$,当$x= -3$时,函数取得最值4,当$x= 1$时,$y= -8$,则函数解析式为
$y=-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-\frac{11}{4}$
.
答案：答案 $y=-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-\frac{11}{4}$
解析 ∵ 当 $x = - 3$ 时，函数取得最值 4，即抛物线的顶点坐标为 $(-3,4)$，∴ 设 $y = a(x + 3)^{2}+4(a\neq0)$，∵ 当 $x = 1$ 时，$y = - 8$，∴ 把 $(1,-8)$ 代入 $y = a(x + 3)^{2}+4$，得 $-8=(1 + 3)^{2}a + 4$，∴ $a=-\frac{3}{4}$，∴ $y=-\frac{3}{4}(x + 3)^{2}+4=-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-\frac{11}{4}$。
3.「2024陕西西安长安期末」若$y= ax^{2}+bx+c$,由下列表格的信息,可知y与x之间的函数关系式是
$y = x^{2}-4x + 3$
.
答案：答案 $y = x^{2}-4x + 3$
解析 依题意，得 $\begin{cases}a = 1\\a - b + c = 8\\c = 3\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 1\\b = - 4\\c = 3\end{cases}$，∴ $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式是 $y = x^{2}-4x + 3$。
4.「2024陕西中考,」已知一个二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
则下列结论正确的是 (
D
)
A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x= 1$
答案：D 由题知，$\begin{cases}4a - 2b + c = - 8\\c = 0\\9a + 3b + c = - 3\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{cases}$，∴ 二次函数的解析式为 $y=-x^{2}+2x$。∵ $a=-1\lt0$，∴ 抛物线的开口向下，故 A 不符合题意；∵ $y=-x^{2}+2x=-(x - 1)^{2}+1$，∴ 当 $x\gt0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大先增大后减小，故 B 不符合题意；令 $y = 0$，得 $-x^{2}+2x = 0$，解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=2$，∴ 抛物线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(0,0)$ 和 $(2,0)$，又因为抛物线的顶点坐标为 $(1,1)$，∴ 抛物线经过第一、三、四象限，故 C 不符合题意；∵ 二次函数的解析式为 $y=-(x - 1)^{2}+1$，∴ 抛物线的对称轴为直线 $x = 1$，故 D 符合题意。故选 D。
5.易错题「2025浙江杭州月考,」抛物线$y= ax^{2}+bx+c的图象经过点A(1,0)$、$B(0,-3)$,且对称轴到y轴的距离为2,则抛物线的函数表达式是
$y=-x^{2}+4x - 3$ 或 $y=\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x - 3$
.
答案：答案 $y=-x^{2}+4x - 3$ 或 $y=\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x - 3$
解析 将 $A$，$B$ 两点的坐标代入 $y = ax^{2}+bx + c$，得 $\begin{cases}a + b + c = 0\\c = - 3\end{cases}$，则 $a + b = 3$。因为对称轴到 $y$ 轴的距离为 2，则 $-\frac{b}{2a}=2$ 或 $-2$。当 $-\frac{b}{2a}=2$ 时，$b=-4a$，则 $a+(-4a)=3$，解得 $a=-1$，则 $b = 4$，所以此时抛物线的函数表达式是 $y=-x^{2}+4x - 3$。同理可得，当 $-\frac{b}{2a}=-2$ 时，$a=\frac{3}{5}$，$b=\frac{12}{5}$，所以此时抛物线的函数表达式是 $y=\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x - 3$。综上所述，抛物线的函数表达式为 $y=-x^{2}+4x - 3$ 或 $y=\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x - 3$。
易错点 对称轴的位置不确定，易忽视其中一种情况。
6.将军饮马模型「2025广东广州番禺期中,」抛物线$y= -x^{2}+bx+c经过点A(-1,0),B(0,3)$.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图,点P是抛物线对称轴上一点,连接AP,BP,当$AP+BP$的值最小时,求点P的坐标.
答案：解析 (1) 把 $A(-1,0)$，$B(0,3)$ 分别代入 $y=-x^{2}+bx + c$，得 $\begin{cases}-1 - b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得 $\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$，∴ 抛物线的解析式为 $y=-x^{2}+2x + 3$。
(2) 设抛物线与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$，∵ $y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，∴ 抛物线的对称轴为直线 $x = 1$，又 ∵ $A(-1,0)$，∴ $C(3,0)$，连接 $PC$，如图，$\because PA = PC$，$\therefore PA + PB = PB + PC$，∴ 当 $P$、$C$、$B$ 三点共线时，$PA + PB$ 的值最小，设直线 $BC$ 的解析式为 $y = mx + n(m\neq0)$，把 $C(3,0)$，$B(0,3)$ 分别代入得 $\begin{cases}3m + n = 0\\n = 3\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = - 1\\n = 3\end{cases}$，∴ 直线 $BC$ 的解析式为 $y=-x + 3$，当 $x = 1$ 时，$y=-x + 3 = 2$，∴ $P$ 点坐标为 $(1,2)$。
7.「2025安徽淮南期中,」如图,抛物线$y= a(x-2)^{2}+3$(a为常数且$a≠0$)与y轴交于点$A(0,\frac {5}{3}).$
(1)求该抛物线的表达式.
$y=-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+3$
(2)若直线$y= kx+\frac {2}{3}(k≠0)$与抛物线有两个交点,交点的横坐标分别为$x_{1},x_{2}$,当$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 10$时,求k的值.
$\frac{2}{3}$或$2$
答案：解析 (1) ∵ 抛物线 $y = a(x - 2)^{2}+3$（$a$ 为常数且 $a\neq0$）与 $y$ 轴交于点 $A(0,\frac{5}{3})$，$\therefore 4a + 3=\frac{5}{3}$，$\therefore a=-\frac{1}{3}$，$\therefore y=-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+3$。
(2) ∵ 直线 $y = kx+\frac{2}{3}(k\neq0)$ 与抛物线有两个交点，$\therefore kx+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+3$，整理得 $x^{2}+(3k - 4)x - 3 = 0$，$\therefore \Delta=(3k - 4)^{2}+12\gt0$，$\because x_{1}+x_{2}=4 - 3k$，$x_{1}\cdot x_{2}=-3$，$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(4 - 3k)^{2}+6 = 10$，$\therefore k=\frac{2}{3}$ 或 $k = 2$。
