例 2 观察下图，通过计算验证，我们发现以下关系式：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = ( )$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = ( )$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{16} = ( )$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} = 1 - \frac{1}{32} = ( )$
……
由此我们可以推断：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ··· + \frac{1}{256} = ( ) - ( ) = ( )$
答案：思路分析
观察前面几个式子可知，结果都为 1 减去最后一个分数，因此最后一个式子的结果为$1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$。解答：$\frac{3}{4}$ $\frac{7}{8}$ $\frac{15}{16}$ $\frac{31}{32}$ 1 $\frac{1}{256}$ $\frac{255}{256}$
2. $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - ··· - \frac{1}{128}$
答案：2. $\frac{1}{128}$ 【提示】1 - $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{8}$ - ⋯ - $\frac{1}{128}$ = 1 - $\frac{127}{128}$ = $\frac{1}{128}$
解析：
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - ··· - \frac{1}{128}$
$= 1 - ( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ··· + \frac{1}{128} )$
$= 1 - \frac{127}{128}$
$= \frac{1}{128}$
例 3 如下图，在三角形 ABC 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 10$厘米，点 A 为扇形 AEF 所在圆的圆心，且涂色部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。
答案：思路分析
观察题图可以发现，空白部分的面积$+$涂色部分①的面积$=$三角形的面积，空白部分的面积$+$涂色部分②的面积$=$扇形的面积，因为涂色部分①与②面积相等，所以求扇形的面积也就是求三角形的面积，列式为$10×10÷2 = 50$（平方厘米）。又因为$∠ ACB = 90^{\circ}$，且$AC = BC$，所以三角形 ABC 是等腰直角三角形，两个锐角都是$45^{\circ}$，也就是扇形的圆心角是$45^{\circ}$。求扇形所在的圆的面积，列式为$50×(360^{\circ}÷45^{\circ}) = 400$（平方厘米）。解答：$(180^{\circ} - 90^{\circ})÷2 = 45^{\circ}$
$10×10÷2 = 50$（平方厘米）
$360^{\circ}÷45^{\circ} = 8$
$50×8 = 400$（平方厘米）
答：扇形所在圆的面积是 400 平方厘米。
