13. 体育课上，30名同学站成一排，按老师的口令报数：1，2，3，…，30。
(1)如果报数是2的倍数的同学去进行跳绳训练，那么参加跳绳训练的有(
15
)人。
(2)余下的同学中，如果报数是3的倍数的同学去跑步，那么跑步的有(
5
)人。
(3)两批同学离开后，如果余下的同学中，报数是5的倍数的同学去器材室拿篮球，那么去器材室拿篮球的有(
2
)人。
答案：13. （1）15 （2）5 （3）2
1. 一个数，既是40的因数，又是5的倍数。这样的数有(
B
)个。
A.8
B.4
C.2
D.1
答案：1. B 【提示】先列举出 40 的因数，再找出是 5 的倍数的数。
解析：
40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40；其中是5的倍数的有5、10、20、40，共4个。B
2. 下面四个六位数中，$A$是1～9中任意的一个自然数，$M$是0，一定能同时被3和5整除的数是(
C
)。
答案：2. C 【提示】因为这个四位数是 5 的倍数，所以个位上的数一定是 0 或 5，M 是 0，B 和 C 符合，又因为是 3 的倍数，A 是 1～9 中的任意一个自然数，所以 A 的个数一定是 3 的倍数，C 符合题意。
解析：
能同时被3和5整除的数需满足：个位是0或5且各位数字之和是3的倍数。M是0，选项B、C个位为M（0），符合5的倍数条件。
选项B：$\overline{AMMAMM}$，数字和为$A+0+0+A+0+0=2A$，2A不一定是3的倍数。
选项C：$\overline{AMAMAM}$，数字和为$A+0+A+0+A+0=3A$，3A一定是3的倍数。
C
3. 6的因数有1，2，3，6，把除6以外的3个因数加起来，正好等于6，具有这样特点的数被称为“完全数”。下面的数中，(
D
)是“完全数”。
A.14
B.15
C.27
D.28
答案：3. D 【提示】14 的因数有 1，2，7，14， $ 1 + 2 + 7 = 10 $，因此 14 不是“完全数”，不符合题意；15 的因数有 1，3，5，15， $ 1 + 3 + 5 = 9 $，因此 15 不是“完全数”，不符合题意；27 的因数有 1，3，9，27， $ 1 + 3 + 9 = 13 $，因此 27 不是“完全数”，不符合题意；28 的因数有 1，2，4，7，14，28， $ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 $，因此 28 是“完全数”，符合题意。
解析：
14的因数有1，2，7，14，$1+2+7=10≠14$；15的因数有1，3，5，15，$1+3+5=9≠15$；27的因数有1，3，9，27，$1+3+9=13≠27$；28的因数有1，2，4，7，14，28，$1+2+4+7+14=28$。D
4. 宿迁山楂糕美味可口，李老师去江苏旅游带回来了一些(少于100块)。4块4块地拿少2块，5块5块地拿多3块，6块6块地拿少2块。一共有(
B
)块山楂糕。
A.60
B.58
C.90
D.70
答案：4. B 【提示】根据题意可知，如果再加 2 块山楂糕，那么总数就是 4、5 和 6 的公倍数，4、5 和 6 的最小公倍数是 60，因为总块数少于 100 块，所以一共有 $ 60 - 2 = 58 $（块）山楂糕。
解析：
根据题意，若山楂糕数量增加2块，则总数是4、5、6的公倍数。4、5、6的最小公倍数为60，因总数少于100块，所以公倍数只能是60。因此，原有山楂糕数量为$60 - 2 = 58$块。
B
5. 新考法 操作探究 玲玲用一些长6厘米、宽4厘米的卡片(数量足够)在一张宽为8厘米的硬纸板上玩游戏(如下图)，她发现下面两种摆法都正好从该硬纸板的一端摆到另一端(沿长边)。这张硬纸板的长度可能是(
C
)厘米。
A.30
B.45
C.60
D.75
答案：5. C 【提示】这张硬纸板的长度是 6 和 4 的公倍数。 $ 6 = 2 × 3 $， $ 4 = 2 × 2 $，6 和 4 的最小公倍数是 12，6 和 4 的公倍数有 12，24，36，48，60，72，84……30，45 和 75 不是 4 和 6 的公倍数，60 是 4 和 6 的公倍数，这张硬纸板的长度可能是 60 厘米。
解析：
6和4的最小公倍数：
$6=2×3$，$4=2×2$，
最小公倍数为$2×2×3=12$。
6和4的公倍数有12，24，36，48，60，72……
选项中只有60是6和4的公倍数。
C
6. 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这两个数可能是(
A
)。
A.15和90
B.30和60
C.45和90
D.30和90
答案：6. A 【提示】选项 B 中 30 和 60 的最大公因数是 30，最小公倍数是 60；选项 C 中 45 和 90 的最大公因数是 45；选项 D 中 30 和 90 的最大公因数是 30。
7. 小红的爸爸每工作5天休息一天，小红的妈妈每工作7天休息一天，如果他们两人8月1日同时休息，那么他们至少在(
C
)又同时休息。
A.8月13日
B.9月4日
C.8月25日
D.9月5日
答案：7. C 【提示】小红爸爸的休息周期为 $ 5 + 1 = 6 $（天），小红妈妈的休息周期为 $ 7 + 1 = 8 $（天），6 和 8 的最小公倍数是 24，至少再过 24 天又同时休息，8 月 1 日再过 24 天是 8 月 25 日。
8. 数学文化 梅森素数 2300年前古希腊数学家欧几里得证明了素数(也就是质数)有无限多个，提出少量素数可以写成“$2^p - 1$”的形式，这里的$p$也是一个素数。由于这种素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究和探索。17世纪法国著名数学家马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“$2^p - 1$”型的素数称为“梅森素数”。下面4个数中，(
B
)是梅森素数。(注：$2^p$表示$p$个2相乘)
A.1
B.7
C.15
D.17
答案：8. B 【提示】选项 A 中 1 既不是质数也不是合数，不符合梅森素数的特征；选项 B 中 $ 7 = 2 ^ { 3 } - 1 $，符合梅森素数的特征；选项 C 中 15 是合数，不符合梅森素数的特征，选项 D 中 17 不能写成“ $ 2 ^ { p } - 1 $”的形式，不符合梅森素数的特征。
