1. (镇江句容市·推理意识)计算 $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12······$ 这样的算式有简便方法吗?明明遇到这个问题时,想到用“数形结合”的方法来探索,于是他用小圆片摆图形研究。
(1)观察表格,请把下面的等式补充完整。
$2 = 1× 2$ $2 + 4 = 2× 3$ $2 + 4 + 6 = 3× 4$ $2 + 4 + 6 + 8 = ($
$)$
)×(
)______$)$
(2)若按此规律继续摆,序号为 5 的图形中有(
)个小圆片,序号为 $n$ 的图形中有(
)个小圆片,序号为(
)的图形中有 156 个小圆片。
答案：1. (1)4 5
(2)30 $ n × (n + 1) $ 12
【提示】(1)通过观察图形 1~4 可知,当序号为 1 时,小圆片个数为 $ (1 × 2) $,序号为 2 时,小圆片个数为 $ (2 × 3) $,序号为 3 时,小圆片个数为 $ (3 × 4) $……也就是小圆片个数=序号×(序号+1);(2)按照(1)得出的规律,序号为 $ n $ 的图形中小圆片个数为 $ n × (n + 1) $,因为 $ 156 = 12 × 13 $,所以序号为 12 的图形有 156 个小圆片。
2. (镇江丹阳市·应用意识)《庄子·杂篇·天下》中有这样一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”意思是一根一尺长的木棒(尺,中国古代的长度单位),第一天取走它的一半,第二天取走剩下的一半,第三天再取走剩下的一半……这样取下去,永远也取不完。按这样的方法,第三天取过后,这根木棒一共被取走了(
$ \frac{7}{8} $
)尺。
答案：2. $ \frac{7}{8} $ 【提示】 $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $
3. (南通通州区·数感)瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 $\frac{9}{5}$、$\frac{16}{12}$、$\frac{25}{21}$、$\frac{36}{32}······$ 中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第 10 个数据是(
$ \frac{144}{140} $
),约成最简分数是(
$ \frac{36}{35} $
)。
答案：3. $ \frac{144}{140} $ $ \frac{36}{35} $ 【提示】观察前面四个数据,可得规律是:分子是 $ 3^{2}、4^{2}、5^{2}、6^{2} ··· ··· (n + 2)^{2} $;分母是 $ 1 × 5、2 × 6、3 × 7、4 × 8 ··· ··· n × (n + 4) $。因此第 $ n $ 个数据是 $ \frac{(n + 2)^{2}}{n × (n + 4)} $,则第 10 个数据是 $ \frac{(10 + 2)^{2}}{10 × (10 + 4)} = \frac{144}{140} = \frac{36}{35} $。
解析：
$\frac{144}{140}$；$\frac{36}{35}$
4. (连云港市·应用意识)如右下图,一块长方形花圃,长 14 米,宽 6 米。中间有三条小路,一条是平行四边形,两条是长方形,剩下的花圃面积有多大?(单位:米)
答案：4. $ (14 - 1) × (6 - 1 - 1) = 52 $(平方米) 【提示】剩下的花圃通过平移可以拼成一个长为 $ (14 - 1) $ 米,宽为 $ (6 - 1 - 1) $ 米的长方形,根据长方形面积公式求解即可。
解析：
$(14 - 1) × (6 - 1 - 1) = 13 × 4 = 52$（平方米）
5. (泰州泰兴市)计算右下图中涂色部分的面积。
答案：5. $ 12 × 12 ÷ 2 = 72 $(平方厘米) $ 360^{\circ} ÷ 45^{\circ} = 8 $ $ 72 - 3.14 × 12^{2} ÷ 8 = 15.48 $(平方厘米)
【提示】涂色部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积。
6. (镇江句容市)右下图中六个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10 厘米的正六边形。求正六边形内涂色部分的面积。
答案：6. $ (6 - 2) × 180^{\circ} = 720^{\circ} $ $ 720^{\circ} ÷ 360^{\circ} = 2 $ $ 3.14 × (10 ÷ 2)^{2} × 2 = 157 $(平方厘米)
【提示】先求出六边形的内角和,再求出涂色部分的面积。
方法归纳
多边形内角和
多边形的内角和 $ = (边数 - 2) × 180^{\circ} $
