例 1 把$\dfrac{201920192019}{202020202020}$约分成最简分数。
解析
因为分子 $201920192019 = 2019×100010001$，分母 $202020202020 = 2020×100010001$，所以分子和分母的最大公因数是 $100010001$，分子和分母同时除以它们的最大公因数 $100010001$，即可得到最简分数。
答案：答案：$\dfrac{201920192019}{202020202020}=\dfrac{2019}{2020}$
小结
解决复杂的分数约分问题时，可以利用分解因数的方法先找到分子和分母的最大公因数，再进行约分。
1. 把$\dfrac{2026202620262026}{2027202720272027}$约分成最简分数。
2. 把$\dfrac{111 + 222 + 333 + ··· + 999}{100 + 200 + 300 + ··· + 900}$约分成最简分数。
答案：1. $\frac{2026202620262026}{2027202720272027}=\frac{2026}{2027}$
【提示】在分数中，由于2027202720272027可以写成$2027×1000100010001$，2026202620262026可以写成$2026×1000100010001$，因此可以将分数的分母
和分子同时除以1000100010001，即可得到最简分数。
2. $\frac{111+222+333+…+999}{100+200+300+…+900}$
$=\frac{111×(1+2+3+…+9)}{100×(1+2+3+…+9)}$
$=\frac{111}{100}$
【提示】先找出分子和分母的最大公因数，然后利用乘法分配律提取公因数，最后把分子和分母相同的部分进行约分。
例 2 有 $8$ 个数，$0.\dot{5}\dot{1}$、$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{5}{9}$、$0.5\dot{1}$、$\dfrac{24}{47}$、$\dfrac{13}{25}$是其中 $6$ 个。如果按照从小到大的顺序排列，第 $4$ 个数是 $0.5\dot{1}$，那么按照从大到小的顺序排列时，第 $4$ 个数是哪一个数？
解析
$\dfrac{2}{3} = 0.\dot{6}$，$\dfrac{5}{9} = 0.\dot{5}$，$\dfrac{24}{47} \approx 0.5106$，$\dfrac{13}{25} = 0.52$，显然有 $0.5106 ＜ 0.5\dot{1} ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ 0.52 ＜ 0.\dot{5} ＜ 0.\dot{6}$，即 $\dfrac{24}{47} ＜ 0.5\dot{1} ＜ 0.\dot{5}\dot{1} ＜ \dfrac{13}{25} ＜ \dfrac{5}{9} ＜ \dfrac{2}{3}$，因为这 $8$ 个数按照从小到大的顺序排列时，第 $4$ 个数是 $0.5\dot{1}$，所以其他两个数均比 $0.5\dot{1}$ 小，因此这 $8$ 个数按照从大到小的顺序排列时，第 $4$ 个数是 $0.\dot{5}\dot{1}$。
答案：答案：按从大到小的顺序排列时，第 $4$ 个数是 $0.\dot{5}\dot{1}$。
小结
用分数的分子除以分母，就能够将分数化成小数，这样就能比较出分数的大小，确定另外 $2$ 个数的大小是解答本题的关键。
3. 将$\dfrac{131}{250}$、$\dfrac{21}{40}$、$0.\dot{5}2\dot{3}$、$0.52\dot{3}$、$0.5\dot{2}$按照从小到大的顺序排列，第 $3$ 个数是哪个数？
答案：3. $0.52\dot{3}$【提示】将两个分数改写成小数，然后比较5个数的大小。$\frac{131}{250}=0.524$，$\frac{21}{40}=0.525$，$0.\dot{5}2\dot{3}=0.5232323…$，$0.52\dot{3}=0.52333…$，$0.\dot{5}\dot{2}=0.52222…$，$0.\dot{5}\dot{2}＜0.\dot{5}2\dot{3}＜0.52\dot{3}＜\frac{131}{250}＜\frac{21}{40}$，第3个数是$0.52\dot{3}$。
解析：
将各数化为小数形式：
$\frac{131}{250}=0.524$，
$\frac{21}{40}=0.525$，
$0.\dot{5}2\dot{3}=0.5232323···$，
$0.52\dot{3}=0.52333···$，
$0.5\dot{2}=0.52222···$。
比较大小：$0.5\dot{2}＜0.\dot{5}2\dot{3}＜0.52\dot{3}＜\frac{131}{250}＜\frac{21}{40}$。
第3个数是$0.52\dot{3}$。
$0.52\dot{3}$
4. 将$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{5}{8}$、$\dfrac{15}{23}$、$\dfrac{10}{17}$、$\dfrac{12}{19}$按照从大到小的顺序排列。
答案：4. $\frac{2}{3}=0.\dot{6}$ $\frac{5}{8}=0.625$ $\frac{15}{23}≈0.65217$
$\frac{10}{17}≈0.588235$ $\frac{12}{19}≈0.631579$
因为$0.\dot{6}＞0.65217＞0.631579＞0.625＞0.588235$，所以$\frac{2}{3}＞\frac{15}{23}＞\frac{12}{19}＞\frac{5}{8}＞\frac{10}{17}$。
【提示】用分数的分子除以分母，将分数化成小数，再进行大小比较。
