【变式 3】(2025·山东威海一模)小红受“怀丙打捞铁牛”故事启发，决定模拟“打捞”过程，图甲中长方体重物$A$陷入淤泥内(下表面与淤泥紧密贴合)，质量为$200g$的小船装有$5N$沙石后，用细绳将小船和重物$A$连接，此时细绳刚好伸直，重物$A$上表面距离水面$20cm$. $A$重力为$6N$、底面积为$30cm^{2}$、高为$4cm$. 卸下沙石的过程中，可借助小船的浮力将重物拉起，细绳的质量和体积忽略不计，$g$取$10N/kg$，$\rho_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3}$. 求：
(1)图甲中，重物$A$上表面受到水的压强；
(2)图乙中，卸下全部沙石后，$A$仍静止不动，则此时小船受到细绳拉力；
(3)若小船的质量不变，至少需要设计多大总体积的小船，才能刚好把重物$A$从淤泥中拉起($V_{排}$引起的河水液面升降忽略不计)；当重物$A$刚从淤泥中脱离瞬间，小船此时受到细绳的拉力是多少牛？
答案：3．(1)$2×10^{3} Pa$ (2)5 N (3)$1.4×10^{-3} m^{3}$ 4.8 N
解析：(1)重物A上表面距离水面20 cm，根据压强公式$p = \rho_{液}gh$可知，重物A上表面受到水的压强$p = \rho_{水}gh = 1.0×10^{3} kg/m^{3}×10 N/kg×0.2 m = 2×10^{3} Pa$;(2) 小船的重力$G_{船} = mg = 0.2 kg×10 N/kg = 2 N$，由于细绳刚好伸直即小船漂浮，根据浮沉条件可知小船所受的浮力等于其重力，则$F_{浮} = G_{总} = G_{船} + G_{沙} = 2 N + 5 N = 7 N$；卸下全部沙石后，A仍静止不动，则小船排开水的体积不变，小船的浮力不变，但小船总重力变为2 N，所以绳子的拉力变大，则绳子的拉力$F_{拉} = F_{浮} - G_{船} = 5 N$;(3)重物A上表面受到水的压力$F_{压} = pS = 2×10^{3} Pa×30×10^{-4} m^{2} = 6 N$，则将重物A刚好拉起时细绳的拉力$F'_{拉} = F_{压} + G_{A} = 6 N + 6 N = 12 N$，所以此时小船受到的浮力$F'_{浮} = G_{船} + F'_{拉} = 2 N + 12 N = 14 N$，则小船排开水的体积$V_{排} = \frac{F'_{浮}}{\rho_{水}g} = \frac{14 N}{1.0×10^{3} kg/m^{3}×10 N/kg} = 1.4×10^{-3} m^{3}$，则至少需要设计体积为$1.4×10^{-3} m^{3}$的小船；当重物A刚从淤泥中脱离瞬间，根据力的平衡可知，小船受到绳子的拉力等于A自身重力和浮力之差，A所受的浮力$F_{浮A} = \rho_{水} V_{Ag} = \rho_{水} S_{A}h_{A}g = 1.0×10^{3} kg/m^{3}×30×10^{-4} m^{2}×4×10^{-2} m×10 N/kg = 1.2 N$，故此时绳子的拉力$F''_{拉} = G_{A} - F_{浮A} = 6 N - 1.2 N = 4.8 N$.
