4. (6分)把质量分布均匀的实心正方体甲、乙分别静止放在水平地面上，分别将甲、乙沿水平方向切去高度$\Delta h$，剩余部分对地面的压强$p$与$\Delta h$的关系如图所示，已知$\rho_{甲}$=4.0×10³ kg/m³，乙的棱长为$h_{乙}$=0.2 m，切之前乙对地面的压强为3 000 Pa，求：($g$取10 N/kg)
(1) 切之前乙对地面的压力.
(2) 切之前甲对地面的压强.
(3) $\Delta h_{0}$的值.
答案：4.(1)120 N (2)4 000 Pa (3)0.04 m 解析：(1)乙的棱长$h_{\mathrm{乙}} = 0.2 \mathrm{ m}$,根据$p = \frac{F}{S}$可得,切之前乙对地面的压力$F_{\mathrm{乙}} = p_{\mathrm{乙}} S_{\mathrm{乙}} = 3 000 \mathrm{ Pa} × 0.2 \mathrm{ m} × 0.2 \mathrm{ m} = 120 \mathrm{ N}$.(2)由题意知,$\rho_{\mathrm{甲}} = 4.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^{3}$,由图可知,切之前甲的高度为10 cm即0.1 m,根据正方体对水平地面的压强$p = \frac{F}{S} = \frac{G}{S} = \frac{mg}{S} = \frac{\rho Vg}{S} = \frac{\rho Shg}{S} = \rho gh$知,切之前甲对地面的压强$p_{\mathrm{甲}} = \rho_{\mathrm{甲}} gh_{\mathrm{甲}} = 4.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^{3} × 10 \mathrm{ N/kg} × 0.1 \mathrm{ m} = 4 000 \mathrm{ Pa}$.(3)因为甲、乙为均匀的实心正方体,根据$p = \rho gh$可得乙的密度$\rho_{\mathrm{乙}} = \frac{p_{\mathrm{乙}}}{gh_{\mathrm{乙}}} = \frac{3 000 \mathrm{ Pa}}{10 \mathrm{ N/kg} × 0.2 \mathrm{ m}} = 1.5 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^{3}$,由图可知,当切去高度为$\Delta h_{0}$时,甲、乙剩余部分对地面压强相等,根据$p = \rho gh$可得$\rho_{\mathrm{甲}} (h_{\mathrm{甲}} - \Delta h_{0}) g = \rho_{\mathrm{乙}} (h_{\mathrm{乙}} - \Delta h_{0}) g$,即$4 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^{3} × (0.1 \mathrm{ m} - \Delta h_{0}) × 10 \mathrm{ N/kg} = 1.5 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^{3} × (0.2 \mathrm{ m} - \Delta h_{0}) × 10 \mathrm{ N/kg}$,解得$\Delta h_{0} = 0.04 \mathrm{ m}$.
解析：
(1) 乙的底面积 $ S_{\mathrm{乙}} = h_{\mathrm{乙}}^2 = (0.2\ \mathrm{m})^2 = 0.04\ \mathrm{m}^2 $，由 $ p = \frac{F}{S} $ 得，切之前乙对地面的压力 $ F_{\mathrm{乙}} = p_{\mathrm{乙}} S_{\mathrm{乙}} = 3000\ \mathrm{Pa} × 0.04\ \mathrm{m}^2 = 120\ \mathrm{N} $。
(2) 由图可知，切之前甲的高度 $ h_{\mathrm{甲}} = 10\ \mathrm{cm} = 0.1\ \mathrm{m} $，根据 $ p = \rho gh $，切之前甲对地面的压强 $ p_{\mathrm{甲}} = \rho_{\mathrm{甲}} g h_{\mathrm{甲}} = 4.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 0.1\ \mathrm{m} = 4000\ \mathrm{Pa} $。
(3) 对乙，由 $ p = \rho gh $ 得，乙的密度 $ \rho_{\mathrm{乙}} = \frac{p_{\mathrm{乙}}}{g h_{\mathrm{乙}}} = \frac{3000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg} × 0.2\ \mathrm{m}} = 1.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $。当切去高度为 $ \Delta h_0 $ 时，甲、乙剩余部分压强相等，即 $ \rho_{\mathrm{甲}} g (h_{\mathrm{甲}} - \Delta h_0) = \rho_{\mathrm{乙}} g (h_{\mathrm{乙}} - \Delta h_0) $，化简得 $ \rho_{\mathrm{甲}} (h_{\mathrm{甲}} - \Delta h_0) = \rho_{\mathrm{乙}} (h_{\mathrm{乙}} - \Delta h_0) $，代入数据：$ 4.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × (0.1\ \mathrm{m} - \Delta h_0) = 1.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × (0.2\ \mathrm{m} - \Delta h_0) $，解得 $ \Delta h_0 = 0.04\ \mathrm{m} $。
5. 新趋势 情境素材 (2025·江苏连云港·6分)王莲拥有水生植物中最大的叶片，莲叶边缘上卷，在叶脉通气组织支撑下，莲叶几乎不浸入水中.王莲进入观赏期时，植物园向游客开设“莲叶载人”的体验活动.为保证安全，莲叶浸入水中的深度不能超过其边缘卷边高度的25%.工作人员将面积为1.5 m²、质量为3 kg的硬质泡沫板放在底面积为2 m²的莲叶中央，该莲叶卷边高度为16 cm，游客站立在硬质泡沫板上，体验“一叶当舟”的乐趣，如图所示.某游客质量为60 kg，双脚站立时与地面的接触面积为4×10⁻² m².求：($g$取10 N/kg，$\rho_{水}$=1.0×10³ kg/m³)
(1) 游客双脚站立在地面时对地面的压强.
(2) 游客体验“一叶当舟”时，莲叶受到的压强.
(3) 为保证安全，该莲叶能托起游客的最大质量.
答案：5.(1)$1.5 × 10^{4} \mathrm{ Pa}$ (2)420 Pa (3)77 kg 解析：(1)游客对地面的压力$F = G = mg = 60 \mathrm{ kg} × 10 \mathrm{ N/kg} = 600 \mathrm{ N}$,游客对地面的压强$p = \frac{F}{S} = \frac{600 \mathrm{ N}}{4 × 10^{-2} \mathrm{ m}^{2}} = 1.5 × 10^{4} \mathrm{ Pa}$.(2)莲叶受到的压力$F' = G_{\mathrm{总}} = m_{\mathrm{总}} g = (60 \mathrm{ kg} + 3 \mathrm{ kg}) × 10 \mathrm{ N/kg} = 630 \mathrm{ N}$,莲叶受到的压强$p' = \frac{F'}{S'} = \frac{630 \mathrm{ N}}{1.5 \mathrm{ m}^{2}} = 420 \mathrm{ Pa}$.(3)当莲叶浸入水中的深度达到卷边高度的25％时泡沫板和人的最大总重$G_{\mathrm{总}}' = F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{排}} g = 1.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^{3} × 25％ × 2 \mathrm{ m}^{2} × 0.16 \mathrm{ m} × 10 \mathrm{ N/kg} = 800 \mathrm{ N}$.泡沫板和人的最大总质量$m_{\mathrm{总}}' = \frac{G_{\mathrm{总}}'}{g} = \frac{800 \mathrm{ N}}{10 \mathrm{ N/kg}} = 80 \mathrm{ kg}$,莲叶能托起人的最大质量$m_{\mathrm{人}} = m_{\mathrm{总}}' - m_{\mathrm{泡沫板}} = 80 \mathrm{ kg} - 3 \mathrm{ kg} = 77 \mathrm{ kg}$.
解析：
(1)游客对地面的压力$F=G=mg=60\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=600\ \mathrm{N}$，压强$p=\frac{F}{S}=\frac{600\ \mathrm{N}}{4×10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=1.5×10^{4}\ \mathrm{Pa}$。
(2)莲叶受到的压力$F'=G_{\mathrm{总}}=(m_{\mathrm{人}}+m_{\mathrm{板}})g=(60\ \mathrm{kg}+3\ \mathrm{kg})×10\ \mathrm{N/kg}=630\ \mathrm{N}$，压强$p'=\frac{F'}{S_{\mathrm{板}}}=\frac{630\ \mathrm{N}}{1.5\ \mathrm{m}^2}=420\ \mathrm{Pa}$。
(3)最大浸入深度$h=25\%×16\ \mathrm{cm}=0.04\ \mathrm{m}$，最大浮力$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×2\ \mathrm{m}^2×0.04\ \mathrm{m}=800\ \mathrm{N}$，总质量$m_{\mathrm{总}}=\frac{F_{\mathrm{浮}}}{g}=\frac{800\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=80\ \mathrm{kg}$，最大游客质量$m_{\mathrm{人}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{板}}=80\ \mathrm{kg}-3\ \mathrm{kg}=77\ \mathrm{kg}$。
