7. (9分)如图所示，某科技馆展厅的水平展台上放置了一个薄壁圆柱形容器，内盛有质量为$0.3\ kg$的水，水的深度为$3\ cm$。展品为一个不吸水的材料制成的均匀实心物体，展品由上下粗细不同的两段组成，上段是横截面积为$20\ cm^2$、高为$10\ cm$的细圆柱，下段是横截面积为$50\ cm^2$、高为$10\ cm$的粗圆柱。展品总质量为$560\ g$，$\rho_水=1.0×10^3\ kg/m^3$，$g$取$10\ N/kg$。
(1) 求制作展品的材料的密度$\rho$。
(2) 若将展品粗的一端向下竖直缓慢放入容器，释放并稳定后，求展品静止时受到水的浮力$F_浮$。
(3) 向容器中缓慢注入$0.7\ kg$水，求展品再次静止时水对容器底部的压强。
答案：7. (1)$0.8g/cm^{3}$ (2)$3N$ (3)$1.56×10^{3}Pa$
解析：(1)展品上部分的体积$V_{上}=S_{上}h_{上}=20cm^{2}×10cm = 200cm^{3}$，下部分的体积$V_{下}=S_{下}h_{下}=50cm^{2}×10cm = 500cm^{3}$，则展品的体积$V = V_{上}+V_{下}=200cm^{3}+500cm^{3}=700cm^{3}$，展品的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{560g}{700cm^{3}}=0.8g/cm^{3}$。(2)容器内水的体积$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{300g}{1.0g/cm^{3}}=300cm^{3}$，则容器的底面积$S=\frac{V_{水}}{h_{水}}=\frac{300cm^{3}}{3cm}=100cm^{2}$，假设展品粗的一端向下竖直缓慢放入容器静止时漂浮，则此时受到的浮力$F_{浮}=G = mg = 0.56kg×10N/kg = 5.6N$，则排开水的体积$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{5.6N}{1.0×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg}=5.6×10^{-4}m^{3}=560cm^{3}$，则展品上部分浸入水中的深度$h_{上浸}=\frac{V_{排}-V_{下}}{S_{上}}=\frac{560cm^{3}-500cm^{3}}{20cm^{2}}=3cm$，则容器内至少需要水的体积$V'_{水}=(S - S_{下})h_{下}+(S - S_{上})h_{上浸}=(100cm^{2}-50cm^{2})×10cm+(100cm^{2}-20cm^{2})×30cm = 740cm^{3}＞V_{水}=300cm^{3}$，故假设不成立，展品放入水中应沉底，浸入水中的深度$h_{浸}=\frac{V_{水}}{S - S_{下}}=\frac{300cm^{3}}{100cm^{2}-50cm^{2}}=6cm＜10cm$，说明展品下部分部分浸入水中，此时排开水的体积$V'_{排}=S_{下}h_{浸}=50cm^{2}×6cm = 300cm^{3}$，则展品静止时受到水的浮力$F_{浮}=\rho_{水}V'_{排}g = 1.0×10^{3}kg/m^{3}×300×10^{-6}m^{3}×10N/kg = 3N$。(3)向容器中注入$0.7kg$水，即注入水的体积$V_{注}=\frac{m_{注}}{\rho_{水}}=\frac{700g}{1.0g/cm^{3}}=700cm^{3}$，所以此时容器内水的体积$V'_{水}=V_{水}+V_{注}=300cm^{3}+700cm^{3}=1000cm^{3}$，故展品此时漂浮在水中，此时容器中水的深度$h = h_{下}+h_{上浸}+\frac{V'_{水}-V_{水}}{S}=10cm + 3cm+\frac{1000cm^{3}-740cm^{3}}{100cm^{2}}=15.6cm$，此时水对容器底部的压强$p=\rho_{水}gh = 1.0×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×0.156m = 1.56×10^{3}Pa$。
8. (2025·河南新乡二模·3分)小展利用一根圆柱形薄壁玻璃管和一个实心玻璃球高温熔接在一起，做成一个简易密度计，如图甲所示。熔接后玻璃管长$20\ cm$，横截面积为$0.5\ cm^2$，小展将该自制密度计放入水中，玻璃管露出水面$12\ cm$，如图乙所示；放入酒精中，玻璃管露出液面$9\ cm$，如图丙所示。两个烧杯完全相同，均放置在水平桌面上，且放入密度计后两烧杯内液面相平，则下列说法正确的是(已知$\rho_水=1.0×10^3\ kg/m^3$，$\rho_{酒精}=0.8×10^3\ kg/m^3$，$g$取$10\ N/kg$)(
B
)
A.密度计的质量为$0.6\ kg$
B.该密度计的量程为$0.5×10^3∼3×10^3\ kg/m^3$
C.两烧杯中液体对烧杯底部压强相等
D.该密度计下端实心玻璃球的
体积为$
4\ cm^3$
答案：8. B 解析：密度计漂浮在液体中，受到的浮力等于密度计的重力，密度计的重力不变，受到的浮力不变，由$F_{浮}=\rho_{液}V_{排}g$可得$\rho_{水}V_{排水}g=\rho_{酒精}V_{排酒精}g$，代入数据则有$1.0×10^{3}kg/m^{3}×[V_{球}+0.5×(20 - 12)×10^{-6}m^{3}]g = 0.8×10^{3}kg/m^{3}×[V_{球}+0.5×(20 - 9)×10^{-6}m^{3}]g$，解得实心玻璃球的体积$V_{球}=2×10^{-6}m^{3}=2cm^{3}$，故D错误；密度计重力$G = F_{浮}=\rho_{水}V_{排水}g = 1.0×10^{3}kg/m^{3}×[2×10^{-6}m^{3}+0.5×(20 - 12)×10^{-6}m^{3}]×10N/kg = 0.06N$，由$G = mg$可得，密度计的质量$m=\frac{G}{g}=\frac{0.06N}{10N/kg}=0.006kg$，故A错误；当密度计的玻璃球刚好浸没在液体中时，密度计测量的液体的密度最大，由浮沉条件与$F_{浮}=\rho_{液}V_{排}g$可得，该密度计的测量的液体的最大密度$\rho_{max}=\frac{F_{浮}}{V_{排1}g}=\frac{G}{V_{球}g}=\frac{0.06N}{2×10^{-6}m^{3}×10N/kg}=3×10^{3}kg/m^{3}$，当密度计刚好浸没在液体中时，密度计测量的液体的密度最小，同理，该密度计的测量的液体的最小密度$\rho_{min}=\frac{F_{浮}}{V_{排2}g}=\frac{G}{(V_{球}+V_{管})g}=\frac{0.06N}{(2×10^{-6}m^{3}+0.5×20×10^{-6}m^{3})×10N/kg}=0.5×10^{3}kg/m^{3}$，故该密度计的量程为$0.5×10^{3}∼3×10^{3}kg/m^{3}$，故B正确；水与酒精的深度相同，根据$p = \rho_{液}gh$，因水的密度大于酒精的密度，水对杯底的压强大于酒精对杯底的压强，则两烧杯中液体对烧杯底部的压强不相等，故C错误。
9. (2025·吉林长春期末·5分)
上分点三 “浮选法”是目前选矿领域被广泛应用的技术。主要原理是：用药剂处理矿物表面，使矿浆中的有益矿物具有亲水性，能附着在矿液中的气泡上并使其上浮，直至漂浮；其他的矿石具有疏水性，沉在矿液的底部，从而将它们分开。矿液的密度为$1.2\ g/cm^3$，假设气泡体积为$5×10^{-4}\ cm^3$，某个棱长为$2×10^{-4}\ m$的正方体有益矿物颗粒的密度为$4\ g/cm^3$，$g$取$10\ N/kg$。
(1) 矿物沉在矿液底部，原因是其受到的浮力
小于
重力。
(2) 矿物颗粒上升过程中所受液体的压强将
变小
；求在$20\ cm$深处它所受液体压强。
(3) 为保证顺利上浮，气泡和有益矿物颗粒的组合体的重力不能超过其浮力的$50\%$，则此气泡最多能带出
11
个这样的有益矿物颗粒浮出液面(不计气泡自身的重力以及气泡体积的变化)。
答案：9. (1)小于 (2)变小 $2400Pa$ (3)$11$
解析：(1)矿物沉在矿液底部，原因是所受浮力小于重力。(2)矿物颗粒上升过程中深度减小，根据$p = \rho_{液}gh$知，所受液体压强减小，在$20cm$深处它所受液体压强$p = \rho_{液}gh = 1.2×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×0.2m = 2400Pa$。(3)由阿基米德原理可知，一个气泡与$n$个有益矿物颗粒的组合体所受的浮力$F_{浮}=\rho_{液}V_{排}g = 1.2×10^{3}kg/m^{3}×[n×(2×10^{-4}m)^{3}+5×10^{-4}×10^{-6}m^{3}]×10N/kg$，组合体的重力$G = nmg = n\rho Vg = n×4×10^{3}kg/m^{3}×(2×10^{-4}m)^{3}×10N/kg$，气泡和有益矿物颗粒的组合体的重力不能超过其浮力的$50\%$，当$G = 50\%F_{浮}$时，则有$n×4×10^{3}kg/m^{3}×(2×10^{-4}m)^{3}×10N/kg = 50\%×1.2×10^{3}kg/m^{3}×[n×(2×10^{-4}m)^{3}+5×10^{-4}×10^{-6}m^{3}]×10N/kg$，解得$n\approx11.03$，所以此气泡最多能带出$11$个这样的有益矿物颗粒浮出液面。
