2. （2025·四川成都）假期，小美一家开启深海科技探究之旅。请根据她在学习中获得的信息完成相关计算。分析过程忽略液体扰动等次要因素，$ρ_{海水}=ρ_{水}=1.0×10^{3} kg/m^{3}，$g 取 10 N/kg。
（1）2024 年 12 月，我国首艘覆盖全球深远海探测并具备冰区载人深潜的科考船——“探索三号”在南沙启航，如图 1。若科考船搭载货物和船员的总质量为$ 9×10^{6} kg，$船排开海水的体积为$ 1×10^{4} m^{3}，$求船的质量。
（2）“探索三号”科考船把搭载的“深海勇士”号潜水器从空中开始竖直下放，如图 2。将潜水器外形视为底面积为$ 27 m^{2} $的长方体，图 3 甲是吊绳受到拉力大小与时间的关系图像，图 3 乙是潜水器下降速度与时间的关系图像。潜水器保持不晃动，动力装置未启动。从吊绳拉力为$ 8.65×10^{5} N $开始，到潜水器刚好浸没为止，求潜水器底部受到海水压强的变化量。
（3）潜水器在某海底区域进行打捞作业。打捞前，潜水器静止时与海底接触面积为$ S_{0}，$对海底压强为$ p_{0}。$若打捞的物品总质量为$ m_{1}，$密度为$ ρ_{1}，$物品装入绳网悬挂于潜水器外壁，绳网的质量和体积忽略不计。现需抛掉挂在潜水器外壁密度为$ ρ_{2} $的压载物，使潜水器实现无动力悬浮，求抛掉的压载物总质量$ m_{2}。$（用$ S_{0}、$$p_{0}、$$m_{1}、$$ρ_{1}、$$ρ_{水}、$$ρ_{2}、$g 表示）
答案：2. (1) $1 × 10^{6} \mathrm{ kg}$ (2) $2.5 × 10^{4} \mathrm{ Pa}$ (3) $\frac{\rho_{2}(\rho_{1} - \rho_{\mathrm{水}})}{\rho_{1}(\rho_{2} - \rho_{\mathrm{水}})}m_{1} + \frac{\rho_{2} p_{0} S_{0}}{(\rho_{2} - \rho_{\mathrm{水}})g}$
解析: (1) 此时船受到的浮力 $F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{海水}} V_{\mathrm{排}} g = 1.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^3 × 1 × 10^{4} \mathrm{ m}^3 × 10 \mathrm{ N/kg} = 1 × 10^{8} \mathrm{ N}$, 由物体的漂浮条件可知，船的总重力 $G_{\mathrm{总}} = F_{\mathrm{浮}} = 1 × 10^{8} \mathrm{ N}$, 由 $G = mg$ 可知, 船的总质量 $m_{\mathrm{总}} = \frac{G_{\mathrm{总}}}{g} = \frac{1 × 10^{8} \mathrm{ N}}{10 \mathrm{ N/kg}} = 1 × 10^{7} \mathrm{ kg}$, 则船的质量 $m_{\mathrm{船}} = m_{\mathrm{总}} - m_{\mathrm{货与人}} = 1 × 10^{7} \mathrm{ kg} - 9 × 10^{6} \mathrm{ kg} = 1 × 10^{6} \mathrm{ kg}$.
(2) 由图 3 甲可知, $0 ∼ 5 \mathrm{ min}$ 时, 潜水器在空中, 此时吊绳的拉力为 $10 × 10^{5} \mathrm{ N}$, 由图 3 乙可知, 此时潜水器做匀速直线运动, 处于平衡状态, 根据力的平衡条件可知, 潜水器的重力 $G_{\mathrm{潜}} = F_{1} = 10 × 10^{5} \mathrm{ N}$, 吊绳拉力为 $8.65 × 10^{5} \mathrm{ N}$ 时潜水器受到的浮力 $F_{\mathrm{浮潜}} = G_{\mathrm{潜}} - F_{2} = 10 × 10^{5} \mathrm{ N} - 8.65 × 10^{5} \mathrm{ N} = 1.35 × 10^{5} \mathrm{ N}$, 由 $F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{液}} V_{\mathrm{排}} g$ 可知, 此时潜水器排开海水的体积 $V_{\mathrm{排海水}} = \frac{F_{\mathrm{浮潜}}}{\rho_{\mathrm{海水}} g} = \frac{1.35 × 10^{5} \mathrm{ N}}{1.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^3 × 10 \mathrm{ N/kg}} = 13.5 \mathrm{ m}^3$, 由 $V = Sh$ 可知, 此时潜水器底部到水面的深度 $h_{\mathrm{浸}} = \frac{V_{\mathrm{排海水}}}{S} = \frac{13.5 \mathrm{ m}^3}{27 \mathrm{ m}^2} = 0.5 \mathrm{ m}$, 由图 3 甲可知, 第 $5 \mathrm{ min}$ 潜水器刚开始浸入海水, 到第 $6 \mathrm{ min}$ 刚好浸没在海水中, $5 ∼ 6 \mathrm{ min}$ 内潜水器下降的高度即为潜水器等效长方体的高度, 由图 3 乙可知此过程的速度为 $0.05 \mathrm{ m/s}$, 潜水器的高度 $h = vt = 0.05 \mathrm{ m/s} × 60 \mathrm{ s} = 3 \mathrm{ m}$, 则从吊绳拉力为 $8.65 × 10^{5} \mathrm{ N}$ 开始, 到潜水器刚好浸没为止, 潜水器底部浸入深度的变化量 $\Delta h = h - h_{\mathrm{浸}} = 3 \mathrm{ m} - 0.5 \mathrm{ m} = 2.5 \mathrm{ m}$, 潜水器底部受到海水压强的变化量 $\Delta p = \rho_{\mathrm{海水}} g \Delta h = 1.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^3 × 10 \mathrm{ N/kg} × 2.5 \mathrm{ m} = 2.5 × 10^{4} \mathrm{ Pa}$.
(3) 打捞前, 潜水器受到竖直向下的重力、竖直向上的浮力和支持力, 由 $p = \frac{F}{S}$ 可知, 此时潜水器对海底的压力 $F_{\mathrm{压}} = p_{0} S_{0}$, 由力的作用是相互的可知, 潜水器受到的支持力 $F_{\mathrm{支}} = F_{\mathrm{压}} = p_{0} S_{0}$, 由力的平衡条件可知, 潜水器和压载物的总重力 $G_{\mathrm{总1}} = F_{\mathrm{浮1}} + F_{\mathrm{支}} = F_{\mathrm{浮1}} + p_{0} S_{0}$ ①, 由密度公式可知, 打捞物品的体积 $V_{1} = \frac{m_{1}}{\rho_{1}}$, 抛掉的压载物的体积 $V_{2} = \frac{m_{2}}{\rho_{2}}$, 由物体的悬浮条件可知, 潜水器悬挂物品并抛掉压载物悬浮时的总重力 $G_{\mathrm{总2}} = F_{\mathrm{浮2}}$ ②, 由题意可知, 排开水体积的变化量 $\Delta V_{\mathrm{排}} = V_{1} - V_{2} = \frac{m_{1}}{\rho_{1}} - \frac{m_{2}}{\rho_{2}}$, 则所受浮力的变化量 $\Delta F_{\mathrm{浮}} = F_{\mathrm{浮2}} - F_{\mathrm{浮1}} = \rho_{\mathrm{水}} \Delta V_{\mathrm{排}} g = \rho_{\mathrm{水}} ( \frac{m_{1}}{\rho_{1}} - \frac{m_{2}}{\rho_{2}} ) g$ ③, 由题意可知 $G_{\mathrm{总2}} = G_{\mathrm{总1}} + m_{1} g - m_{2} g$ ④, 联立①②③④, 整理可知抛掉的压载物总质量 $m_{2} = \frac{\rho_{2}(\rho_{1} - \rho_{\mathrm{水}})}{\rho_{1}(\rho_{2} - \rho_{\mathrm{水}})}m_{1} + \frac{\rho_{2} p_{0} S_{0}}{(\rho_{2} - \rho_{\mathrm{水}})g}$.
3. （2025·云南）2024 年 11 月 17 日，我国建造的全球最先进的大洋钻探船“梦想”号正式入列，如图甲所示。它具备 11 000 米超深水钻探能力，有望实现“打穿地壳，进入地球深部”的科学梦想。钻探船上高耸的井架控制钻杆作业，使钻头深入海底钻取岩心。
（1）“梦想”号钻探船上建有高耸的井架，出海执行任务时，要从大桥下通过。只要
空载
（选填“空载”或“满载”）时能通过大桥，就能始终确保安全通行。
（2）求在水深 5 000 m 处海水对钻头的压强。$（ρ_{海水} $取$ 1.0×10^{3} kg/m^{3}，$g 取 10 N/kg）
（3）科创小组估测井架质量为$ 5×10^{6} kg，$井架与甲板接触面积为$ 400 m^{2}，$求井架对甲板的压强。
（4）为了研究“梦想”号钻探船从桥下安全通行的高度问题，科创小组用两块相同的等腰梯形板材和三块长边均为 l=4 m 的矩形板材，制作了如图乙所示的“启航”号实验船，板材不吸水且厚度不计。船底短边 d=1 m，船身高度 h=1 m，θ=45°，船头竖立有旗杆。将船放入平静的湖水中进行实验，当装载 m=1 800 kg 货物时吃水深度为$ h_{1}=0.4 m。$若桥离水面的高度 H=3 m，要实验船始终能安全通过此桥，求旗杆的最大高度。（货物高度始终低于旗杆顶部，$ρ_{水}=1.0×10^{3} kg/m^{3}）$
答案：3. (1) 空载 (2) $5 × 10^{7} \mathrm{ Pa}$ (3) $1.25 × 10^{5} \mathrm{ Pa}$ (4) $2.1 \mathrm{ m}$
解析: (1) 船在水中航行时, 从大桥下通过, 船的高度越低越安全, 船空载时, 船的总重力最小, 排开水的体积最小, 吃水深度最浅, 船露出水面最高; 满载时, 船的总重力最大, 排开水的体积最大, 吃水深度最深, 船露出水面最低; 所以只要空载时能通过大桥, 就能始终确保安全通过.
(2) 深度为 $5000 \mathrm{ m}$ 处海水对钻头的压强 $p = \rho_{\mathrm{海水}} gh = 1.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^3 × 10 \mathrm{ N/kg} × 5000 \mathrm{ m} = 5 × 10^{7} \mathrm{ Pa}$.
(3) 井架对甲板的压力等于自身的重力, 即 $F = G = mg = 5 × 10^{6} \mathrm{ kg} × 10 \mathrm{ N/kg} = 5 × 10^{7} \mathrm{ N}$, 井架对甲板的压强 $p_{\mathrm{井架}} = \frac{F}{S} = \frac{5 × 10^{7} \mathrm{ N}}{400 \mathrm{ m}^2} = 1.25 × 10^{5} \mathrm{ Pa}$.
(4) 当装载 $m = 1800 \mathrm{ kg}$ 的货物时, 货物的重力 $G_{\mathrm{货}} = m_{\mathrm{货}} g = 1800 \mathrm{ kg} × 10 \mathrm{ N/kg} = 1.8 × 10^{4} \mathrm{ N}$, 已知船头和船尾是由 2 块相同的等腰梯形板材制成, 且 $\theta = 45^{\circ}$, 如图 1, 此时船头(或船尾) 在水中的侧面积(梯形的面积) $S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} h_{1} (d + d') = \frac{1}{2} × 0.4 \mathrm{ m} × (1 \mathrm{ m} + 0.4 \mathrm{ m} + 0.4 \mathrm{ m} + 1 \mathrm{ m}) = 0.56 \mathrm{ m}^2$, 因船浸入水中的部分为柱体, 则此时船排开水的体积 $V_{\mathrm{排}} = S_{\mathrm{侧}} l = 0.56 \mathrm{ m}^2 × 4 \mathrm{ m} = 2.24 \mathrm{ m}^3$, 所以装载 $m = 1800 \mathrm{ kg}$ 的货物时, 船受到的浮力 $F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{排}} g = 1.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^3 × 2.24 \mathrm{ m}^3 × 10 \mathrm{ N/kg} = 2.24 × 10^{4} \mathrm{ N}$, 则船自身的重力 $G_{\mathrm{船}} = F_{\mathrm{浮}} - G_{\mathrm{货}} = 2.24 × 10^{4} \mathrm{ N} - 1.8 × 10^{4} \mathrm{ N} = 4.4 × 10^{3} \mathrm{ N}$, 要实验船始终能安全通过此桥, 需保证空载时能通过大桥, 空载时船受到的浮力 $F_{\mathrm{浮}}' = G_{\mathrm{船}} = 4.4 × 10^{3} \mathrm{ N}$, 此时船排开水的体积 $V_{\mathrm{排}}' = \frac{F_{\mathrm{浮}}'}{\rho_{\mathrm{水}} g} = \frac{4.4 × 10^{3} \mathrm{ N}}{1.0 × 10^{3} \mathrm{ kg/m}^3 × 10 \mathrm{ N/kg}} = 0.44 \mathrm{ m}^3$, 空载时船头(或船尾) 在水中的侧面积 $S_{\mathrm{侧}}' = \frac{V_{\mathrm{排}}'}{l} = \frac{0.44 \mathrm{ m}^3}{4 \mathrm{ m}} = 0.11 \mathrm{ m}^2$, 设此时船的吃水深度为 $h_{2}$, 露出水面的高度为 $h_{3}$, 如图 2, 此时 $S_{\mathrm{侧}}' = \frac{1}{2} h_{2} (d + d'') = \frac{1}{2} h_{2} × (1 \mathrm{ m} + h_{2} + h_{2} + 1 \mathrm{ m}) = 0.11 \mathrm{ m}^2$, 解得 $h_{2} = 0.1 \mathrm{ m}$, 则此时船露出水面的高度 $h_{3} = h - h_{2} = 1 \mathrm{ m} - 0.1 \mathrm{ m} = 0.9 \mathrm{ m}$, 所以旗杆的最大高度 $h_{\mathrm{旗杆}} = H - h_{3} = 3 \mathrm{ m} - 0.9 \mathrm{ m} = 2.1 \mathrm{ m}$.
