典例1 (2025·江苏常州模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接AC，BC，BD，CD.若∠CDB=60°，则cos∠ABC的值为(
D
)
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案：【思路分析】因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°.因为∠CAB，∠CDB均是$\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$所对的圆周角，所以∠CAB=∠CDB=60°，所以∠ABC=90°−∠CAB=30°，所以cos∠ABC=cos30°=$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
【答案】D
【变式1】新素养
抽象能力 定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为“半余角”.如图，在△ABC中，若∠A，∠B互为“半余角”，且$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则tanA的值为
$\frac{1}{3}$
.
答案：【变式1】$\frac{1}{3}$
典例2 在△ABC中，若$\sqrt{\sin A - 0.5}+|3\tan B - 3| = 0$，∠A，∠B均为锐角，则△ABC是
三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案：因为$\sqrt{\sin A - 0.5} \geq 0$，$|3\tan B - 3| \geq 0$，且$\sqrt{\sin A - 0.5} + |3\tan B - 3| = 0$，
所以$\sqrt{\sin A - 0.5} = 0$，$|3\tan B - 3| = 0$，
即$\sin A - 0.5 = 0$，$3\tan B - 3 = 0$，
解得$\sin A = 0.5 = \frac{1}{2}$，$\tan B = 1$，
因为$\angle A$，$\angle B$均为锐角，
所以$\angle A = 30{°}$，$\angle B = 45{°}$，
根据三角形内角和为$1 80{°}$，
所以$\angle C = 180{°} - 30{°} - 45{°} = 105{°}$，
所以$\bigtriangleup ABC$是钝角三角形。
故答案为：钝角。
