变式2 如图，将平行四边形AOBC放在平面直角坐标系中(O为原点)，边OB在x轴上，连接OC。已知OC=3，OB=5，且OC⊥BC。将△OCB绕点O旋转，当点C刚好落在边AC上的点C'处时，点B的对应点B'的坐标为
$(\frac{7}{5},\frac{24}{5})$
。
答案：$(\frac{7}{5},\frac{24}{5})$
典例3 (2025·江苏苏州模拟)如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是边AB上一点，⊙O经过点B且与AI相切于点I。若tan∠BAC=24/7，则sin C的值为 (
B
)
A.5/6
B.4/5
C.3/5
D.√{3}/3
答案：思路分析 如图，连接OI，过点B作BH⊥AC于点H，则∠AHB=∠CHB=90°。因为OB=OI，所以∠OBI=∠OIB。因为I是△ABC的内心，所以∠OAI=∠CAI，∠OBI=∠CBI，所以∠CBI=∠OIB，所以OI//BC。因为AI为⊙O的切线，所以OI⊥AI，所以AI⊥BC，所以AB=AC。因为tan∠BAC=BH/AH=24/7，所以设AH=7x，则BH=24x，所以AC=AB=√{AH²+BH²}=25x，所以CH=AC−AH=18x，所以BC=√{BH²+CH²}=30x，所以sin C=BH/BC=4/5。
答案 B
变式3 新素养
推理能力 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，点D在⊙O上，连接CD，交AB于点E，延长BD，CA相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G。
(1)求证：AG//CD；
(2)求证：PA²=PG·PB；
(3)若sin∠APD=1/3，PG=6，求tan∠AGB的值。
答案：(1)由折叠的性质，得$AD=AC$，$BD=BC$，所以点$A$，$B$都在$CD$的垂直平分线上，所以$AB$垂直平分$CD$.因为$AG$是$\odot O$的切线，所以$AG⊥ AB$，所以$AG// CD$.
(2)因为$AG// CD$，所以$\angle PAG=\angle PCD$.因为$\angle PBA=\angle PCD$，所以$\angle PAG=\angle PBA$.又$\angle P=\angle P$，所以$\triangle PAG∼\triangle PBA$，所以$\frac{PA}{PB}=\frac{PG}{PA}$，所以$PA^{2}=PG· PB$.
(3)过点$G$作$GF⊥ PA$于点$F$，则$\angle AFG=\angle PFG = 90^{\circ}$.因为$AC = AD$，所以$\angle ACD=\angle ADC$.因为$AG// CD$，所以$\angle FAG=\angle ACD$，$\angle DAG=\angle ADC$，所以$\angle FAG=\angle DAG$.因为$AB$为$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$DG⊥ AD$，所以$FG = DG$，$\angle ADP=90^{\circ}$.因为$\sin\angle APD=\frac{FG}{PG}=\frac{1}{3}$，$PG = 6$，所以$DG=FG=\frac{1}{3}PG = 2$，所以$PD=PG + DG = 8$.因为$\sin\angle APD=\frac{AD}{PA}=\frac{1}{3}$，所以$PA = 3AD$，所以$PD=\sqrt{PA^{2}-AD^{2}}=2\sqrt{2}AD$，所以$2\sqrt{2}AD = 8$，所以$AD=2\sqrt{2}$，所以$\tan\angle AGB=\frac{AD}{DG}=\sqrt{2}$.
