【变式2】
在锐角三角形ABC中，BC = 12，高AD = 8。
(1)如图①，矩形EFGH的边GH在边BC上，其余两个顶点E，F分别在边AB，AC上，EF交AD于点K。
① 求$\frac{EF}{AK}$的值；
② 设EH = x，矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求S的最大值；
(2)如图②，若AB = AC，正方形PQMN的边MN在边BC上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，求正方形PQMN的边长。
答案：(1) ① 因为四边形EFGH是矩形，所以EF//BC,所以△ABC∽△AEF.因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC，所以AK⊥EF，所以AD,AK是△ABC和△AEF的对应高，所以$\frac{AD}{AK}=\frac{BC}{EF},$所以$\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}.$因为BC = 12,AD = 8,所以$\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2}.$
② 因为AD = 8,DK = EH = x,所以AK = AD - DK = 8 - x.因为$\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2},$所以$EF = \frac{3}{2}AK = 12 - \frac{3}{2}x,$所以$S = EH·EF = -\frac{3}{2}x^{2}+12x = -\frac{3}{2}(x - 4)^{2}+24.$因为$-\frac{3}{2}＜0,0＜x＜8,$所以当x = 4时,S取最大值24.故S与x之间的函数表达式为$S = -\frac{3}{2}x^{2}+12x(0＜x＜8),S$的最大值为24.
(2) 设AD与PQ交于点R.因为四边形PQMN为正方形，所以PQ = PN,PQ//BC，所以△APQ∽△ABC.因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC，所以AR⊥PQ，所以AR,AD是△APQ和△ABC的对应高$,\frac{AR}{AD}=\frac{PQ}{BC}.$设PQ = PN = RD = y.因为AD = 8,所以AR = AD - RD = 8 - y.因为BC = 12,所以$\frac{8 - y}{8}=\frac{y}{12},$解得$y = \frac{24}{5},$所以正方形PQMN的边长为$\frac{24}{5}.$
典例3
(2025·江苏宿迁模拟)在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1。若格点三角形ABC与格点三角形DEF成位似关系，则位似中心的坐标为
(-1, 0)
。
答案：【思路分析】作直线AD，BE交于点G，则点G即为位似中心，且点G的坐标为(-1, 0)。
【答案】(-1, 0)
【变式3】
新素养
几何直观 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，且点A的坐标为(1, 2)，正方形EFGH的边FG在x轴上，且点H的坐标为(9, 4)，则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是
(-3,0)或$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$
。
答案：(-3,0)或$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$
解析：
情况一：位似中心在x轴上
求正方形ABCD各顶点坐标：
点A(1,2)，BC在x轴上，正方形边长为2，
∴ B(1,0)，C(3,0)，D(3,2)。
求正方形EFGH各顶点坐标：
点H(9,4)，FG在x轴上，正方形边长为4，
∴ G(9,0)，F(5,0)，E(5,4)。
求直线BF与DH的交点：
直线BF：过B(1,0)、F(5,0)，方程为y=0（x轴）。
直线DH：过D(3,2)、H(9,4)，斜率$k=\frac{4-2}{9-3}=\frac{1}{3}$，
方程：$y-2=\frac{1}{3}(x-3)$，即$y=\frac{1}{3}x+1$。
联立$y=0$，解得$x=-3$，
∴ 交点(-3,0)。
情况二：位似中心在两正方形之间
求直线BD与FH的交点：
直线BD：过B(1,0)、D(3,2)，斜率$k=\frac{2-0}{3-1}=1$，
方程：$y=x-1$。
直线FH：过F(5,0)、H(9,4)，斜率$k=\frac{4-0}{9-5}=1$，
方程：$y=x-5$。（两线平行，无交点）
求直线BH与DF的交点：
直线BH：过B(1,0)、H(9,4)，斜率$k=\frac{4-0}{9-1}=\frac{1}{2}$，
方程：$y=\frac{1}{2}(x-1)$。
直线DF：过D(3,2)、F(5,0)，斜率$k=\frac{0-2}{5-3}=-1$，
方程：$y-2=-(x-3)$，即$y=-x+5$。
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}(x-1) \\ y=-x+5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{11}{3} \\ y=\frac{4}{3}\end{cases}$，
∴ 交点$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$。
位似中心坐标：$(-3,0)$或$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$
