典例1
如图，AB与CD交于点O，且AC//BD。若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，AC + BD = 24，则AC的长为
8
。
答案：【思路分析】因为$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，所以$\frac{C_{\triangle AOC}}{C_{\triangle BOD}} = \frac{1}{2}$。因为AC//BD，所以∠A = ∠B，∠C = ∠D，所以△AOC∽△BOD，所以$\frac{AC}{BD} = \frac{C_{\triangle AOC}}{C_{\triangle BOD}} = \frac{1}{2}$，所以BD = 2AC。因为AC + BD = 24，所以3AC = 24，所以AC = 8。
【答案】8
【变式1】
新素养
几何直观 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，DC上。若四边形AEFD∽四边形EBCF，且四边形AEFD的周长等于四边形EBCF周长的$\frac{2}{3}$，则AD与BC的长度比为
4 : 9
。
答案：4 : 9
典例2
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD = 5，BC = 10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E，F，G，N，M都在△ABC的边上，则△AEM与四边形BCME面积的比为
1 : 3
。
答案：【思路分析】因为四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，所以EF = EH = HG = HM，EM//BC，所以△AEM∽△ABC。因为AD⊥BC，所以AP⊥EM，所以AP，AD分别是△AEM和△ABC的对应高，所以$\frac{AP}{AD} = \frac{EM}{BC}$。设PD = EF = EH = HM = x，则EM = EH + HM = 2x。因为AD = 5，所以AP = AD - PD = 5 - x。因为BC = 10，所以$\frac{5 - x}{5} = \frac{2x}{10}$，解得x = $\frac{5}{2}$，所以EM = 5，所以$\frac{S_{\triangle AEM}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{EM}{BC})^2 = \frac{1}{4}$，所以S_{\triangle ABC} = 4S_{\triangle AEM}，所以S_{四边形BCME} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AEM} = 3S_{\triangle AEM}，所以△AEM与四边形BCME面积的比为1 : 3。
【答案】1 : 3
