6. (4分)如图，一座悬索桥的桥面$ OA $与主悬钢索$ MN $之间用垂直钢索连接，主悬钢索近似是抛物线形状，两端到桥面的距离$ OM $与$ AN $相等.小强骑自行车从桥的一端$ O $沿直线匀速穿过桥面到达另一端$ A $，当他行驶18s时和28s时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面$ OA $共需
46
s.
(第6题)
(第7题)
答案：6.46
解析：
解：设小强通过整个桥面需$ t $秒，以$ O $为原点，$ OA $为$ x $轴建立坐标系，抛物线方程为$ y=ax^2+bx+c $。
由题意，抛物线对称轴为$ x=\frac{18t+28t}{2× t}=23 $（秒对应的位置）。
因为抛物线两端到桥面距离相等，即抛物线关于对称轴对称，所以整个桥面时间$ t=2×23=46 $。
46
7. (2025·江苏盐城模拟·4分)
上分点三 如图，一男生扔铅球，铅球行进高度$ y $(m)是水平距离$ x $(m)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线.该男生扔铅球出手时，铅球的高度为1.6m；铅球飞行至水平距离4m时，铅球高度为4m，铅球落地时水平距离为8m.给出下列结论：① 铅球飞行至水平距离3.5m时，铅球到达最大高度4.05m；② 当$ 0 \leq x \leq 8 $时，$ y $与$ x $之间的函数表达式为$ y = -0.2x^2 + 1.4x + 1.6 $；③ 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等.其中正确的是
①②
. (填序号)
答案：7.①② 解析:由题意，得抛物线经过点(0,1.6)，(4,4)，(8,0).当0≤x≤8时，设y与x之间的函数表达式为y = ax² + bx + c.把点(0,1.6)，(4,4)，(8,0)分别代入y = ax² + bx + c，得$\begin{cases}c = 1.6,\\16a + 4b + c = 4,\\64a + 8b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 0.2,\\b = 1.4,\\c = 1.6,\end{cases}$所以y = - 0.2x² + 1.4x + 1.6(0≤x≤8)，故②正确；因为y = - 0.2x² + 1.4x + 1.6 = - 0.2(x - 3.5)² + 4.05，所以当x = 3.5时，y取最大值4.05，即铅球飞行至水平距离3.5m时，铅球到达最大高度4.05m，故①正确；铅球从最高点运动至落地的水平距离为8 - 3.5 = 4.5(m)，则铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离不相等，故③错误.
解析：
解：由题意，抛物线经过点$(0,1.6)$，$(4,4)$，$(8,0)$。
设当$0 \leq x \leq 8$时，$y$与$x$之间的函数表达式为$y = ax^2 + bx + c$，将三点代入得：
$\begin{cases}c = 1.6 \\16a + 4b + c = 4 \\64a + 8b + c = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -0.2 \\b = 1.4 \\c = 1.6\end{cases}$
故函数表达式为$y = -0.2x^2 + 1.4x + 1.6$，②正确。
$y = -0.2x^2 + 1.4x + 1.6 = -0.2(x - 3.5)^2 + 4.05$，当$x = 3.5$时，$y$最大值为$4.05$，①正确。
铅球从出手到最高点水平距离为$3.5 - 0 = 3.5\ \mathrm{m}$，从最高点到落地水平距离为$8 - 3.5 = 4.5\ \mathrm{m}$，$3.5 \neq 4.5$，③错误。
综上，正确的是①②。
①②
8. (4分)“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是地方特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”$ p $与加工煎炸时间$ t $(min)近似满足的函数关系为$ p = at^2 + bt + c $($ a \neq 0 $)，如图记录了三次实验的数据，则加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 (
C
)
A.3.50min
B.4.05min
C.3.75min
D.4.25min
答案：8.C
解析：
解：由图可知，函数$p = at^2 + bt + c$过点$(3,0.8)$，$(4,0.9)$，$(5,0.6)$，代入得：
$\begin{cases}9a + 3b + c = 0.8 \\16a + 4b + c = 0.9 \\25a + 5b + c = 0.6\end{cases}$
解得$a = -0.2$，$b = 1.5$，$c = -1.9$，函数为$p = -0.2t^2 + 1.5t - 1.9$。
抛物线对称轴为$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{1.5}{2×(-0.2)} = 3.75$。
故最佳时间为$3.75\ \mathrm{min}$，选C。
9. (4分)“科教兴国，强国有我.”某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度$ h $(m)与飞行时间$ t $(s)之间满足函数表达式$ h = at^2 + bt + 1 $($ a $，$ b $为常数，且$ a \neq 0 $).若“水火箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，飞行8s时的升空高度为33m，则“水火箭”升空的最大高度为 (
C
)
A.33m
B.36m
C.37m
D.40m
答案：9.C
解析：
因为“水火箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，所以抛物线$h = at^2 + bt + 1$的对称轴为$t = \frac{3 + 9}{2} = 6$。
对称轴公式为$t = -\frac{b}{2a}$，所以$-\frac{b}{2a} = 6$，即$b = -12a$。
已知飞行8s时的升空高度为33m，代入函数表达式得：$33 = a × 8^2 + b × 8 + 1$，即$64a + 8b + 1 = 33$。
将$b = -12a$代入上式：$64a + 8×(-12a) = 32$，$64a - 96a = 32$，$-32a = 32$，解得$a = -1$。
则$b = -12×(-1) = 12$，函数表达式为$h = -t^2 + 12t + 1$。
因为$a = -1 ＜ 0$，抛物线开口向下，在对称轴$t = 6$处取得最大值。
最大高度为$h = -(6)^2 + 12×6 + 1 = -36 + 72 + 1 = 37$（m）。
C
10. (4分)兰州牛肉面以其独特的风味火遍全国，是行走的兰州历史文化代表.如图是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底$ O $为原点建立平面直角坐标系，已知碗口$ BC $宽28cm，碗深$ OA = 9.8 $cm，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，碗中汤面的水平宽度为
16
cm.(碗的厚度不计)
答案：10.16
解析：
解：设抛物线方程为$y = ax^2$。
由题意，碗口$BC$宽$28\,\mathrm{cm}$，则点$C$坐标为$(14, 9.8)$，代入方程得：$9.8 = a · 14^2$，解得$a = \frac{9.8}{196} = 0.05$，故抛物线方程为$y = 0.05x^2$。
当汤面竖直高度下降$6.6\,\mathrm{cm}$时，此时汤面高度为$9.8 - 6.6 = 3.2\,\mathrm{cm}$。
令$y = 3.2$，则$3.2 = 0.05x^2$，解得$x^2 = 64$，$x = \pm 8$。
所以碗中汤面的水平宽度为$8 - (-8) = 16\,\mathrm{cm}$。
16
