1. (3分) 若某二次函数的图像如图所示，则这个二次函数的表达式为(
B
)
A.$ y = x^{2} + 2x - 3 $
B.$ y = x^{2} - 2x - 3 $
C.$ y = -x^{2} + 2x - 3 $
D.$ y = -x^{2} - 2x + 3 $
答案：1.B
解析：
解：由图像可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，与$y$轴交于点$(0,-3)$。
设二次函数表达式为$y=ax^{2}+bx+c$。
因为开口向上，所以$a＞0$，排除C、D选项。
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，对于A选项$y=x^{2}+2x-3$，$-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1\neq1$；对于B选项$y=x^{2}-2x-3$，$-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，符合对称轴条件。
且B选项中$c=-3$，与$y$轴交点$(0,-3)$一致。
综上，这个二次函数的表达式为B。
B
2. (3分) 若抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点为 $ (2,4) $，且经过原点，则 $ ab + 2025 = $
2021
。
答案：2.2021
解析：
因为抛物线顶点为$(2,4)$，设抛物线解析式为$y = a(x - 2)^2+4$。
抛物线经过原点$(0,0)$，代入得$0=a(0 - 2)^2 + 4$，即$4a+4=0$，解得$a=-1$。
所以$y=-(x - 2)^2 + 4=-x^2 + 4x$，则$a=-1$，$b=4$，$c=0$。
$ab=(-1)×4=-4$，$ab + 2025=-4 + 2025=2021$。
2021
3. (2025·江苏镇江模拟·3分) 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过点 $ A(0,2) $，且该抛物线上任意不同两点 $ M(x_{1},y_{1}) $，$ N(x_{2},y_{2}) $ 都满足当 $ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0 $ 时，$ (x_{1} - x_{2})(y_{1} - y_{2}) ＞ 0 $；当 $ 0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} $ 时，$ (x_{1} - x_{2})(y_{1} - y_{2}) ＜ 0 $。以原点 $ O $ 为圆心，$ OA $ 为半径的圆与该抛物线的另两个交点为 $ B $，$ C $，且点 $ B $ 在点 $ C $ 的左侧。若 $ \triangle ABC $ 中有一个内角为 $ 60^{\circ} $，则该抛物线的函数表达式为
$y = -x^{2} + 2$
。
答案：3.$y = -x^{2} + 2$ 解析：因为抛物线$y = ax^{2} + bx + c$经过点$A(0,2)$，所以$OA = 2$，$c = 2$。当$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$时，$x_{1} - x_{2} ＜ 0$。因为$(x_{1} - x_{2})(y_{1} - y_{2}) ＞ 0$，所以$y_{1} - y_{2} ＜ 0$，所以$y_{1} ＜ y_{2}$，所以当$x ＜ 0$时，$y$随$x$增大而增大.同理当$x ＞ 0$时，$y$随$x$增大而减小，所以该抛物线的对称轴为$y$轴，且开口向下，所以$b = 0$，$a ＜ 0$.由抛物线与圆的对称性可知$\bigtriangleup ABC$为
等腰三角形.因为$\bigtriangleup ABC$中有一个内角为$60^{\circ}$，所以$\bigtriangleup ABC$为等边三角形.设$BC$与$y$轴交于点$D$，连接$OB$，则$OB = OA = 2$.因为$\angle ODB = 90^{\circ}$，$\angle OBD = 30^{\circ}$，所以$OD = \frac{1}{2}OB = 1$，所以$BD = \sqrt{OB^{2} - OD^{2}} = \sqrt{3}$，所以$B( - \sqrt{3}, - 1)$.把点$B( - \sqrt{3}, - 1)$代入$y = ax^{2} + 2$，得$3a + 2 = - 1$，解得$a = - 1$，则该抛物线的函数表达式为$y = - x^{2} + 2$.
4. (8分) 已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图像经过点 $ (4,3) $，且对称轴为直线 $ x = 1 $。
(1) 求该二次函数的表达式；
(2) 若一个点的坐标满足 $ (a,2a) $，我们将这样的点定义为“给力点”。
① 求该函数“给力点”的坐标；
② 若 $ P(m,n) $ 是该二次函数图像上“给力点”之间的点（包括端点），求 $ n $ 的最大值与最小值的差。
答案：4.(1)因为二次函数$y = x^{2} + bx + c$的图像经过点$(4,3)$，且对称轴为直线$x = 1$，所以$\begin{cases} 16 + 4b + c = 3, \\ - \frac{b}{2} = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} b = - 2, \\ c = - 5, \end{cases}$所以该二次函数的表达式为$y = x^{2} - 2x - 5$.
(2)①把点$(a,2a)$代入$y = x^{2} - 2x - 5$，得$a^{2} - 2a - 5 = 2a$，解得$a_{1} = 5$，$a_{2} = - 1$.当$a = 5$时，$2a = 10$；当$a = - 1$时，$2a = - 2$.综上所述，该函数“给力点”的坐标为$(5,10)$，$( - 1, - 2)$.
②因为$P(m,n)$是该二次函数图像上点$( - 1, - 2)$与点$(5,10)$之间的点(包括端点)，所以$- 1 \leq m \leq 5$.因为$y = x^{2} - 2x - 5 = (x - 1)^{2} - 6$，所以当$x = 1$时，$y$取最小值$- 6$，当$x = 5$时，$y$取最大值$(5 - 1)^{2} - 6 = 10$，所以$n$的最大值与最小值的差为$10 - ( - 6) = 16$.
5. (3分) 若抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a ＞ 0) $ 经过第四象限的点 $ (1,-1) $，则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根的情况是(
C
)
A.有两个大于 $ 1 $ 的不相等实数根
B.有两个小于 $ 1 $ 的不相等实数根
C.有一个大于 $ 1 $、另一个小于 $ 1 $ 的实数根
D.没有实数根
答案：5.C
解析：
解：设 $ f(x) = ax^{2} + bx + c $，
因为抛物线经过点 $(1, -1)$，所以 $ f(1) = a + b + c = -1 $。
又因为 $ a ＞ 0 $，抛物线开口向上，且 $ f(1) = -1 ＜ 0 $，
当 $ x \to \pm\infty $ 时，$ f(x) \to +\infty $，
所以函数 $ f(x) $ 与 $ x $ 轴有两个交点，一个在 $ x = 1 $ 的左侧，一个在 $ x = 1 $ 的右侧，
即方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 有一个大于 $ 1 $、另一个小于 $ 1 $ 的实数根。
C
6. (3分) 若一个点的纵坐标是横坐标的 $ 3 $ 倍，则称这个点为“三倍点”。例如：点 $ A(1,3) $，$ B(-2,-6) $，$ C(0,0) $。在 $ -3 ＜ x ＜ 1 $ 的范围内，若二次函数 $ y = -x^{2} - x + c $ 的图像上至少存在一个“三倍点”，则 $ c $ 的取值范围是(
D
)
A.$ -\frac{1}{4} \leq c ＜ 1 $
B.$ -4 \leq c ＜ -3 $
C.$ -\frac{1}{4} \leq c ＜ 6 $
D.$ -4 \leq c ＜ 5 $
答案：6.D 解析：设“三倍点”为$(m,3m)$.把点$(m,3m)$代入$y = -x^{2} - x + c$，得$-m^{2} - m + c = 3m$，即$m^{2} + 4m - c = 0$.解该方程，得$m = - 2 \pm \sqrt{c + 4}(c \geq - 4)$.由题意，得$- 3 ＜ - 2 + \sqrt{c + 4} ＜ 1$或$- 3 ＜ - 2 - \sqrt{c + 4} ＜ 1$，解得$- 4 \leq c ＜ 5$或$- 4 \leq c ＜ - 3$，所以$c$的取值范围是$- 4 \leq c ＜ 5$.
