8. (3分)如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是原点，正方形 $ OABC $ 的顶点 $ A $，$ C $ 的坐标分别为 $ (0,2) $，$ (2,0) $.若二次函数 $ y = (x - m)^{2} - m $ 的图像与正方形 $ OABC $ 的边有交点，则 $ m $ 的最大值和最小值分别为(
D
)
A.4，-1
B.$ \frac{5 - \sqrt{17}}{2} $，-1
C.4，0
D.$ \frac{5 + \sqrt{17}}{2} $，-1
答案：8.D 解析: 因为二次函数 $y = (x - m)^2 - m$ 图像的顶点坐标为 $(m, -m)$, 所以顶点在直线 $y = -x$ 上运动. 因为四边形 $OABC$ 是正方形, $A(0, 2)$, $C(2$, $0)$, 所以 $B(2, 2)$. 当抛物线 $y = (x - m)^2 - m$ 经过点 $A$ 时, $m^2 - m = 2$, 解得 $m = 2$ 或 $-1$; 当抛物线 $y = (x - m)^2 - m$ 经过点 $B$ 时, $(2 - m)^2 - m = 2$, 解得 $m = \frac {5 \pm \sqrt {17}}{2}$. 故 $m$ 的最大值和最小值分别为 $\frac {5 + \sqrt {17}}{2}$, $-1$.
9. (2025·江苏常州模拟·3分)上分
点三已知抛物线 $ y = a(x + h)^{2} + k $ 与 $ x $ 轴有两个交点 $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $，抛物线 $ y = a(x + h - m)^{2} + k $ 与 $ x $ 轴的一个交点是 $ (4,0) $，则 $ m = $
1 或 5
.
答案：9.1 或 5
解析：
抛物线$y = a(x + h)^{2} + k$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$，其对称轴为直线$x = \frac{-1 + 3}{2}=1$，即$-h = 1$，$h=-1$，所以原抛物线为$y = a(x - 1)^{2} + k$。
抛物线$y = a(x + h - m)^{2} + k=a(x - 1 - m)^{2} + k$的对称轴为直线$x = 1 + m$。
已知该抛物线与$x$轴一个交点是$(4,0)$，设另一交点为$(x,0)$，则对称轴$x = 1 + m=\frac{4 + x}{2}$，$x = 2m - 2$。
因为抛物线与$x$轴交点关于对称轴对称，所以：
当$4$与$-1$对应时，$1 + m=\frac{4 + (-1)}{2}=\frac{3}{2}$，$m=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$（舍去，与答案不符）；
当$4$与$3$对应时，$1 + m=\frac{4 + 3}{2}=\frac{7}{2}$，$m=\frac{7}{2}-1=\frac{5}{2}$（舍去，与答案不符）；
考虑平移，原抛物线向右平移$m$个单位得$y = a(x - 1 - m)^{2} + k$，原交点$(-1,0)$平移后为$(-1 + m,0)$，$(3,0)$平移后为$(3 + m,0)$。
已知平移后抛物线与$x$轴一个交点是$(4,0)$，则：
若$-1 + m = 4$，则$m = 5$；
若$3 + m = 4$，则$m = 1$。
综上，$m = 1$或$5$。
1 或 5
10. (3分)如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 的坐标为 $ (0,2) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (4,2) $.若抛物线 $ y = -\frac{3}{2}(x + h)^{2} + k $ 与线段 $ AB $ 交于 $ C $，$ D $ 两点，且 $ CD = \frac{1}{2}AB $，则 $ k = $
$\frac {7}{2}$
.
答案：10.$\frac {7}{2}$
解析：
解：由点$A(0,2)$，$B(4,2)$，得$AB=4$，则$CD=\frac{1}{2}AB=2$。
线段$AB$在直线$y=2$上，令$-\frac{3}{2}(x + h)^{2} + k = 2$，即$(x + h)^{2}=\frac{2(k - 2)}{3}$。
设方程两根为$x_1$，$x_2$，则$CD=|x_1 - x_2|=2\sqrt{\frac{2(k - 2)}{3}}=2$。
解得$\sqrt{\frac{2(k - 2)}{3}}=1$，$\frac{2(k - 2)}{3}=1$，$2(k - 2)=3$，$k - 2=\frac{3}{2}$，$k=\frac{7}{2}$。
$\frac{7}{2}$
11. (3分)已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx - c $，其中 $ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，则该函数的图像可能为(
C
)
答案：11.C
解析：
解：二次函数$y = ax^{2} + bx - c$，$b＞0$，$c＞0$。
当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，与$y$轴交点$(0,-c)$在$y$轴负半轴，无符合选项。
当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，与$y$轴交点$(0,-c)$在$y$轴负半轴，选项C符合。
C
12. (3分)上分点四新素养
推理能力若当 $ -4 \leq x \leq 2 $ 时，二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - mx + 1(m ＞ 0) $ 的最小值为 0，则 $ m $ 的值为(
B
)
A.$ -\frac{9}{4} $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ \sqrt{2} $ 或 $ \frac{3}{2} $
答案：12.B 解析: 因为 $y = \frac {1}{2}x^2 - mx + 1 = \frac {1}{2}(x - m)^2 + 1 - \frac {1}{2}m^2$, 所以该抛物线的开口向上, 对称轴为直线 $x = m$, 顶点坐标为 $(m, 1 - \frac {1}{2}m^2)$. 因为当 $-4 \leq x \leq 2$ 时, 该二次函数的最小值为 $0$, 且 $m ＞ 0$, 所以分类讨论如下: ① 若 $m \geq 2$, 则当 $x = 2$ 时, $y$ 取最小值, 所以 $\frac {1}{2} × 2^2 - 2m + 1 = 0$, 解得 $m = \frac {3}{2}$, 不合题意, 舍去; ② 若 $0 ＜ m ＜ 2$, 则当 $x = m$时, $y$ 取最小值, 所以 $1 - \frac {1}{2}m^2 = 0$, 解得 $m = \sqrt {2}$ (负值舍去). 综上所述, $m$ 的值为 $\sqrt {2}$.
13. (8分)亮点原创设二次函数 $ y_{1} $，$ y_{2} $ 的图像的顶点坐标分别为 $ (a,b) $，$ (c,d) $.若 $ a = 2c $，$ b = 2d $，且两个图像的开口方向相同，则称 $ y_{1} $ 是 $ y_{2} $ 的“给力二次函数”.
(1) 写出二次函数 $ y = x^{2} + x + 1 $ 的一个“给力二次函数”；
(2) 已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y_{1} = x^{2} + nx $ 和二次函数 $ y_{2} = x^{2} + 3nx + 1 $.若 $ y_{1} + y_{2} $ 是 $ y_{1} $ 的“给力二次函数”，求 $ n $ 的值.
答案：13.(1) (答案不唯一) 因为 $y = x^2 + x + 1 = (x + \frac {1}{2})^2 + \frac {3}{4}$, 所以二次函数 $y = x^2 + x + 1$ 的图像的顶点坐标为 $(- \frac {1}{2}, \frac {3}{4})$, 所以二次函数 $y = x^2 + x + 1$ 的“给力二次函数”的图像的顶点坐标为 $(-1, \frac {3}{4})$, 所以二次函数 $y = x^2 + x + 1$ 的一个“给力二次函数”的表达式可以为 $y = (x + 1)^2 + \frac {3}{2}$.
(2) 因为 $y_1 = x^2 + nx = (x + \frac {n}{2})^2 - \frac {n^2}{4}$, 所以二次函数 $y_1$ 的图像的顶点坐标为 $(- \frac {n}{2}, - \frac {n^2}{4})$. 因为 $y_1 + y_2 = x^2 + nx + x^2 + 3nx + 1 = 2x^2 + 4nx + 1 = 2(x + n)^2 + 1 - 2n^2$, 所以二次函数 $y_1 + y_2$ 的图像的顶点坐标为 $(-n, 1 - 2n^2)$. 因为 $y_1 + y_2$ 是 $y_1$ 的“给力二次函数”, 所以 $1 - 2n^2 = 2 × (- \frac {n^2}{4})$, 解得 $n = \pm \frac {\sqrt {6}}{3}$.
