5. (4分) 如图，夜晚，小亮从点 $A$ 经过路灯 $C$ 的正下方沿直线走到点 $B$，他的影长 $y$ 随他与点 $A$ 之间的距离 $x$ 的变化而变化，那么表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系的图像大致为(
A
)
答案：5.A
6. (4分) 上 分 点 二 新趋势
传统文化 我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，通过射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成投影，进而操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演. 如图，已知皮影人在点 $C$ 处，屏幕在点 $E$ 处，皮影人与屏幕相距 1 m，射灯 $A$ 与皮影人相距 2 m. 若保持皮影人在点 $C$ 处位置不变，要使屏幕上的影子的像高 $DE$ 增大一倍至 $FE$，则射灯 $A$ 应向皮影人移动的距离 $AG$ 为(
A
)
A.$\frac{3}{2}$ m
B.$\frac{5}{4}$ m
C.1 m
D.$\frac{1}{2}$ m
答案：6.A 解析：由题意，得$CE = 1m$，$AC = 2m$，所以$AE = AC + CE = 3m$.因为$BC// DE$，所以$\triangle ABC∼\triangle ADE$，所以$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{2}{3}$.因为$DE = \frac{1}{2}FE$，所以$\frac{BC}{FE}=\frac{1}{3}$.因为$BC// FE$，所以$\triangle GBC∼\triangle GFE$，所以$\frac{CG}{EG}=\frac{BC}{FE}=\frac{1}{3}$，所以$CG = \frac{1}{3}EG$.设$AG = xm$，则$CG = AC - AG = (2 - x)m$，$EG = AE - AG = (3 - x)m$，所以$2 - x = \frac{1}{3}(3 - x)$，解得$x = \frac{3}{2}$，即$AG = \frac{3}{2}m$.故射灯$A$应向皮影人移动的距离$AG$为$\frac{3}{2}m$.
7. (2025·江苏镇江模拟·4分) 如图，小明家的客厅有一张直径 $BC$ 为 1 m，高为 0.75 m 的圆桌(桌面与地面平行)，在距地面 2 m 的点 $A$ 处有一盏灯，灯柱 $OA$ 与地面垂直，该圆桌桌面直径 $BC$ 在灯光下的投影为 $DE$. 若测得 $OD = 2$ m，则 $OE =$
3.6
m.
答案：7. $3.6$ 解析：延长$CB$交$OA$于点$F$，则$\angle AFB = \angle AOD = 90^{\circ}$.因为$OF = 0.75m$，$OA = 2m$，所以$FA = OA - OF = 1.25m$，所以$\frac{OA}{FA}=\frac{8}{5}$.因为$BC// DE$，所以$\triangle ADE∼\triangle ABC$.因为$OA$，$FA$分别是$\triangle ADE$和$\triangle ABC$的高，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{OA}{FA}=\frac{8}{5}$，所以$DE = \frac{8}{5}BC$.因为$BC = 1m$，所以$DE = 1.6m$.因为$OD = 2m$，所以$OE = OD + DE = 3.6m$.
8. (8分) 如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源 $O$ 与铅笔 $AB$ 所确定的平面垂直于桌面. 在灯光照射下，$AB$ 在地面上形成的影子为 $CD$（不计折射），$AB // CD$.
(1) 在桌面上沿着 $AB$ 方向平移铅笔，试说明 $CD$ 的长不变；
(2) 桌面上一点 $P$ 恰在点 $O$ 的正下方，且 $OP = 36$ cm，$PA = 18$ cm，$AB = 18$ cm，桌面的高度为 60 cm. 在点 $O$ 与 $AB$ 所确定的平面内，将 $AB$ 绕点 $A$ 旋转，使得 $CD$ 的长最大. 画出此时 $AB$ 所在位置的示意图，并求 $CD$ 长的最大值.
]
答案：8. (1)设平移$AB$得到$EF$，$EF$在地面上形成的影子为$MN$，则$EF = AB$.设点$O$到桌面的距离为$h_{1}cm$，到地面的距离为$h_{2}cm$.因为$AB// CD$，$EF// MN$，所以$\triangle OAB∼\triangle OCD$，$\triangle OEF∼\triangle OMN$，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{h_{1}}{h_{2}}$，$\frac{EF}{MN}=\frac{h_{1}}{h_{2}}$，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{EF}{MN}$，所以$MN = CD$，所以$CD$的长不变.
(2)如图，以点$A$为圆心，$18cm$为半径画$\odot A$，则当直线$OD$与$\odot A$相切于点$B$时，$CD$的长取最大值，所以$AB⊥ OD$，所以$\angle ABD = 90^{\circ}$.延长$PA$交$OD$于点$G$，连接$OP$并延长交直线$CD$于点$R$，则$OP⊥ PG$，$OR⊥ DR$，所以$\angle OPG = 90^{\circ}$，所以$\angle ABG = \angle OPG$.又$\angle AGB = \angle OGP$，所以$\triangle ABG∼\triangle OPG$，所以$\frac{AG}{OG}=\frac{AB}{OP}$.因为$AB = 18cm$，$OP = 36cm$，所以$\frac{AG}{OG}=\frac{1}{2}$，所以$OG = 2AG$.设$AG = xcm$，则$OG = 2xcm$.因为$PA = 18cm$，所以$PG = PA + AG = (18 + x)cm$.因为$OP^{2}+PG^{2}=OG^{2}$，所以$36^{2}+(18 + x)^{2}=(2x)^{2}$，解得$x_{1}=30$，$x_{2}=-18$(不合题意，舍去)，所以$AG = 30cm$.因为$PR = 60cm$，所以$OR = OP + PR = 96cm$.因为$AG// CD$，所以$\triangle OAG∼\triangle OCD$，所以$\frac{AG}{CD}=\frac{OP}{OR}=\frac{3}{8}$，所以$CD = \frac{8}{3}AG = 80cm$.故$CD$长的最大值为$80cm$.
