8. (3分)如图，把一块长为 $ 40 \, \mathrm{cm} $、宽为 $ 30 \, \mathrm{cm} $ 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为 $ y \, \mathrm{cm}^2 $，剪去小正方形的边长为 $ x \, \mathrm{cm} $，则 $ y $ 与 $ x $ 之
间的函数表达式为
$y = 4x^{2}-140x + 1200$
.(不要求写出自变量的取值范围)
答案：8.$y = 4x^{2}-140x + 1200$
解析：
由题意，剪去小正方形的边长为$x\,\mathrm{cm}$，则折成的无盖纸盒底面的长为$(40 - 2x)\,\mathrm{cm}$，宽为$(30 - 2x)\,\mathrm{cm}$。
底面积$y=(40 - 2x)(30 - 2x)$，展开可得：
$\begin{aligned}y&=40×30 - 40×2x - 2x×30 + (2x)^2\\&=1200 - 80x - 60x + 4x^2\\&=4x^2 - 140x + 1200\end{aligned}$
$y = 4x^{2}-140x + 1200$
9. (2025·江苏苏州模拟·8分)某商品的进价为 $ 40 \, \mathrm{元/件} $，且最低售价为 $ 50 \, \mathrm{元/件} $，此时每个月可卖出 $ 210 $ 件.若售价超过 $ 50 \, \mathrm{元/件} $ 但不超过 $ 80 \, \mathrm{元/件} $，则每件商品的售价每上涨 $ 1 $ 元，每个月少卖出 $ 1 $ 件；若售价超过 $ 80 \, \mathrm{元/件} $，则每件商品的售价每上涨 $ 1 $ 元，每月少卖出 $ 3 $ 件.设商品的售价为 $ x \, \mathrm{元/件} $（$ x $ 为整数），每个月的销售量为 $ y $ 件.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式，并直接写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 设每月的销售利润为 $ W $ 元，请直接写出 $ W $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
答案：9.(1)当$50\leq x\leq80$时，$y = 210-(x - 50)=-x + 260$；当$80＜x\leq140$时，$y = 210-(80 - 50)-3(x - 80)=-3x + 420$.故y与x之间的函数表达式为$y=\begin{cases}-x + 260(50\leq x\leq80且x为整数)\\-3x + 420(80＜x\leq140且x为整数)\end{cases}$
(2)W与x之间的函数表达式为$W=\begin{cases}-x^{2}+300x-10400(50\leq x\leq80且x为整数)\\-3x^{2}+540x-16800(80＜x\leq140且x为整数)\end{cases}$
10. (3分)下列图像中，可能是二次函数 $ y = (m^2 + 1)x^2 $ 的图像的是 (
D
)
答案：10.D
解析：
解：对于二次函数$y=(m^2 + 1)x^2$，
因为$m^2\geq0$，所以$m^2 + 1\geq1$，即二次项系数大于$0$，抛物线开口向上。
又因为常数项为$0$，所以抛物线顶点在原点。
图像D符合开口向上且顶点在原点的特征。
D
11. (3分)若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图像经过点 $ P(-1,3) $，则该函数图像必经过点 (
A
)
A.$ (1,3) $
B.$ (-1,-3) $
C.$ (-3,1) $
D.$ (3,-1) $
答案：11.A
解析：
解：将点$P(-1,3)$代入$y = ax^2$，得$3=a×(-1)^2$，解得$a=3$，函数解析式为$y = 3x^2$。
当$x=1$时，$y=3×1^2=3$，所以函数图像经过点$(1,3)$。
A
12. (3分)如图，4个二次函数图像对应的表达式分别是① $ y = ax^2 $；② $ y = bx^2 $；③ $ y = cx^2 $；④ $ y = dx^2 $，则 $ a,b,c,d $ 之间的大小关系是
$c＜d＜b＜a$
.(用“$＜$”号连接)
]
答案：12.$c＜d＜b＜a$
13. (3分)如图，点 $ A $ 在 $ y $ 轴的正半轴上，点 $ B,C $ 在二次函数 $ y = \sqrt{3}x^2 $ 的图像上，四边形 $ OBAC $ 为菱形，且 $ \angle ACO = 120° $，则菱形 $ OBAC $ 的面积为
$2\sqrt{3}$
.
]
答案：13.$2\sqrt{3}$ 解析：连接BC交OA于点D.因为四边形OBAC为菱形，所以$BC⊥ OA$.因为$\angle ACO = 120^{\circ}$，所以$\angle OCD = 60^{\circ}$，所以$\angle COD = 30^{\circ}$，所以$OC = 2CD$，$OD=\sqrt{3}CD$.设$CD = t$，则$OD=\sqrt{3}t$，所以$C(-t,\sqrt{3}t)$.把点$C(-t,\sqrt{3}t)$代入$y=\sqrt{3}x^{2}$，得$\sqrt{3}t^{2}=\sqrt{3}t$，解得$t_{1}=0$(不合题意，舍去)，$t_{2}=1$，所以$CD = 1$，$OD=\sqrt{3}$，所以$BC = 2CD = 2$，$OA = 2OD = 2\sqrt{3}$，所以菱形OBAC的面积为$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
解析：
解：连接$BC$交$OA$于点$D$。
∵四边形$OBAC$为菱形，
∴$BC ⊥ OA$，$CD = BD$，$OD = AD$。
∵$\angle ACO = 120°$，
∴$\angle OCD = 60°$，$\angle COD = 30°$，
∴$OC = 2CD$，$OD=\sqrt{3}CD$。
设$CD = t$，则$OD=\sqrt{3}t$，
∴点$C$坐标为$(-t,\sqrt{3}t)$。
将$C(-t,\sqrt{3}t)$代入$y = \sqrt{3}x^2$，
得$\sqrt{3}t^2=\sqrt{3}t$，解得$t = 1$（$t = 0$舍去）。
∴$CD = 1$，$OD=\sqrt{3}$，
∴$BC = 2CD = 2$，$OA = 2OD = 2\sqrt{3}$。
菱形$OBAC$的面积为$\frac{1}{2} × BC × OA=\frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$
