7. (3分)新素养
抽象能力 定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这个四边形叫做“自相似四边形”.如图,A,B,C是正方形网格中的格点.在网格中确定格点D,使以A,B,C,D四点为顶点的四边形是“自相似四边形”,则符合条件的格点D的个数是
5
。
8. (9分)新素养
推理能力 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,$P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}$是△DEF边上的5个格点.
(1) 求证:△ABC为直角三角形;
(2) 判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3) 画一个三角形,使它的三个顶点为$P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}$中的3个格点且与△ABC相似,并说明理由.
答案：8. (1)由勾股定理，得$AB^{2}=20$，$AC^{2}=5$，$BC^{2}=25$，所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，所以△ABC为直角三角形.
(2)△ABC和△DEF相似. 理由如下：由勾股定理，得$AB = 2\sqrt{5}$，$AC = \sqrt{5}$，$BC = 5$，$DE = 4\sqrt{2}$，$DF = 2\sqrt{2}$，$EF = 2\sqrt{10}$，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，所以△ABC∽△DEF.
(3)如图，连接$P_2P_5$，$P_2P_4$，$P_4P_5$，则△$P_2P_4P_5$符合要求. 理由如下：由勾股定理，得$P_2P_5=\sqrt{10}$，$P_2P_4=\sqrt{2}$，$P_4P_5=2\sqrt{2}$. 又$AB = 2\sqrt{5}$，$AC = \sqrt{5}$，$BC = 5$，所以$\frac{P_2P_5}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{P_2P_4}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{P_4P_5}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，所以$\frac{P_2P_5}{BC}=\frac{P_4P_5}{AB}=\frac{P_2P_4}{AC}$，所以△$P_4P_5P_2$∽△ABC.
9. (3分)上分点四 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,G是△ABC的重心,矩形GECF的顶点E,F分别在边AC,BC上.若矩形GECF的面积为4,则△ABC的面积为 (
C
)
A.36
B.24
C.18
D.9
答案：9. C
10. (3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,G是△ABC的重心,点D在边BC上,DG⊥CG.若BD=5,CD=3,则$\frac{CG}{BC}$等于 (
D
)
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
答案：10. D 解析：连接AG并延长交BC于点E，延长CG交AB于点F，连接EF. 因为G是△ABC的重心，所以AE，CF是△ABC的中线，所以E，F分别是BC，AB的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF//AC，所以∠BEF = ∠ACB = 90°，所以∠CEF = 180° - ∠BEF = 90°. 因为DG⊥CG，所以∠CGD = 90°，所以∠CGD = ∠CEF. 又∠DCG = ∠FCE，所以△CDG∽△CFE，所以$\frac{CD}{CF}=\frac{CG}{CE}$. 因为BD = 5，CD = 3，所以BC = BD + CD = 8，所以$CE=\frac{1}{2}BC = 4$，所以$\frac{3}{CF}=\frac{CG}{4}$，所以$CF· CG = 12$. 因为$CF=\frac{3}{2}CG$，所以$\frac{3}{2}CG^{2}=12$，所以$CG = 2\sqrt{2}$，所以$\frac{CG}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
11. (2025·江苏无锡模拟·3分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,G是重心,连接AG,BG,CG.若AG=3,BG=4,则CG=
$\sqrt{5}$
。
答案：11. $\sqrt{5}$ 解析：如图，分别延长AG，BG，CG交△ABC的边于点D，E，F. 因为G是△ABC的重心，所以AD，BE，CF为△ABC的中线，所以$AG=\frac{2}{3}AD$，$BG=\frac{2}{3}BE$，$CG=\frac{2}{3}CF$. 因为AG = 3，BG = 4，所以$AD=\frac{3}{2}AG=\frac{9}{2}$，$BE=\frac{3}{2}BG = 6$. 设CD = x，CE = y，则BC = 2CD = 2x，AC = 2CE = 2y. 因为∠ACB = 90°，所以$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，$CE^{2}+BC^{2}=BE^{2}$，所以$4y^{2}+x^{2}=\frac{81}{4}$，$y^{2}+4x^{2}=36$. 两式相加，得$5(x^{2}+y^{2})=\frac{225}{4}$，所以$x^{2}+y^{2}=\frac{45}{4}$，所以$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=3\sqrt{5}$，所以$CF=\frac{1}{2}AB=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，所以$CG=\sqrt{5}$.
12. (6分)新素养
推理能力 如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,DF经过△ABC的重心G,且DF//AB,DE//AC,连接EF.若AC=$\sqrt{2}$AB,求证:△DEF∽△ABC.
答案：12. 连接CG并延长交AB于点H. 因为G是△ABC的重心，所以$\frac{CG}{HG}=2$. 因为DG//BH，所以$\frac{CD}{BD}=\frac{CG}{HG}=2$，所以$\frac{CD}{CB}=\frac{2}{3}$. 因为DF//AB，所以△CDF∽△CBA，所以$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{CB}=\frac{2}{3}$，所以$DF=\frac{2}{3}AB$. 因为DE//AC，所以△BDE∽△BCA，所以$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{CB}=\frac{1}{3}$，所以$DE=\frac{1}{3}AC$. 因为$AC=\sqrt{2}AB$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$DE=\frac{\sqrt{2}}{3}AB$，所以$\frac{DE}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$，所以$\frac{DF}{AC}=\frac{DE}{AB}$. 因为DF//AB，DE//AC，所以四边形AEDF是平行四边形，所以∠EDF = ∠A，所以△DEF∽△ABC.
