1. (3分)如图,D为△ABC的边BC上一点,要使△ABD∽△CBA,可以添加的条件是 (
C
)
A.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{CD}$
B.$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{AD}$
C.$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$
D.$\frac{AC}{CD}=\frac{CB}{AC}$
答案：1. C
解析：
要使△ABD∽△CBA，已知∠B是公共角。根据相似三角形的判定定理，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
在△ABD和△CBA中，∠B为公共角，若满足$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$，则两边对应成比例且夹角相等，可判定△ABD∽△CBA。
选项C为$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$，符合上述条件。
答案：C
2. (3分)新素养
几何直观 如图,在△ABC中,D是边BC上的点(不与点B,C重合),DE//AB交AC于点E,DF//AC交AB于点F.N是线段BF上的点,BN=2NF;M是线段DE上的点,DM=2ME.连接CM,CN,MN,EF.若已知△CMN的面积,则一定能求出 (
D
)
A.△AFE的面积
B.△BDF的面积
C.△BCN的面积
D.△DCE的面积
答案：2. D 解析：连接ND. 因为DE//AB，DF//AC，所以∠A = ∠CEM，∠A = ∠DFN，∠B = ∠CDE，∠BDF = ∠DCE，所以∠DFN = ∠CEM，△BDF∽△DCE，所以$\frac{BF}{DE}=\frac{DF}{CE}$. 因为BN = 2NF，DM = 2ME，所以$S_{\triangle DCE}=\frac{3}{2}S_{\triangle CDM}$，$\frac{NF}{BF}=\frac{ME}{DE}=\frac{1}{3}$，所以$\frac{NF}{ME}=\frac{BF}{DE}$，所以$\frac{NF}{ME}=\frac{DF}{CE}$，所以△DFN∽△CEM，所以∠NDF = ∠MCE，所以∠BDF - ∠NDF = ∠DCE - ∠MCE，所以∠BDN = ∠DCM，所以DN//CM，所以$S_{\triangle CDM}=S_{\triangle CMN}$，所以$S_{\triangle DCE}=\frac{3}{2}S_{\triangle CMN}$，所以一定能求出△DCE的面积.
3. (3分)如图,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=$\sqrt{3}$,BC=1,BF分别交AC,DC,DE于点P,Q,R,则BP的长为
1
。
答案：3. 1
解析：
解：过点$A$作$AH ⊥ BC$于点$H$，则$BH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}$。
在$Rt\triangle ABH$中，$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{11}}{2}$。
由题意知$BG = BC + CE + EG = 3BC = 3$。
易证$\triangle BPC ∼ \triangle BFG$，相似比为$\frac{BC}{BG} = \frac{1}{3}$。
$\because FG = AB = \sqrt{3}$，$\therefore PC = \frac{1}{3}FG = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\because AC = AB = \sqrt{3}$，$\therefore AP = AC - PC = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
过点$P$作$PM ⊥ BC$于点$M$，则$\triangle PMC ∼ \triangle AHC$，$\frac{PM}{AH} = \frac{PC}{AC} = \frac{1}{3}$，$PM = \frac{1}{3}AH = \frac{\sqrt{11}}{6}$，$MC = \frac{1}{3}HC = \frac{1}{6}$，$BM = BC - MC = \frac{5}{6}$。
在$Rt\triangle BPM$中，$BP = \sqrt{BM^2 + PM^2} = \sqrt{(\frac{5}{6})^2 + (\frac{\sqrt{11}}{6})^2} = 1$。
1
4. (2025·江苏南京模拟·3分)上分点一 如图,在△ABC中,AB=4 cm,BC=8 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B运动,速度为1 cm/s,动点Q从点B开始沿边BC向点C运动,速度为2 cm/s.若P,Q两点同时出发,则经过
2或0.8
s,△BPQ与△BAC相似.
答案：4. 2或0.8 解析：设经过t s，△BPQ与△BAC相似. 由题意，得AP = t cm，BQ = 2t cm. 因为AB = 4 cm，所以BP = AB - AP = (4 - t)cm. 因为BC = 8 cm，∠PBQ = ∠ABC，所以当$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$时，△BPQ∽△BAC，即$\frac{4 - t}{4}=\frac{2t}{8}$，解得t = 2；当$\frac{BQ}{BA}=\frac{BP}{BC}$时，△BPQ∽△BCA，即$\frac{2t}{4}=\frac{4 - t}{8}$，解得t = 0.8. 综上所述，经过2 s或0.8 s，△BPQ与△BAC相似.
解析：
解：设经过$t$ s，$\triangle BPQ$与$\triangle BAC$相似。
由题意，得$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$。
因为$AB = 4\ \mathrm{cm}$，所以$BP = AB - AP = (4 - t)\ \mathrm{cm}$。
因为$BC = 8\ \mathrm{cm}$，$\angle PBQ = \angle ABC$，分两种情况：
1. 当$\frac{BP}{BA} = \frac{BQ}{BC}$时，$\triangle BPQ ∼ \triangle BAC$，即$\frac{4 - t}{4} = \frac{2t}{8}$，解得$t = 2$；
2. 当$\frac{BQ}{BA} = \frac{BP}{BC}$时，$\triangle BPQ ∼ \triangle BCA$，即$\frac{2t}{4} = \frac{4 - t}{8}$，解得$t = 0.8$。
综上所述，经过$2\ \mathrm{s}$或$0.8\ \mathrm{s}$，$\triangle BPQ$与$\triangle BAC$相似。
答案：$2$或$0.8$
5. (3分)上分
点二 如图,在正方形网格中,每一个小正方形的顶点叫做格点,以其中三个格点为顶点的三角形称为格
点三角形,△ABC就是一个格点三角形.现从△ABC的三个顶点中选取两个格点,再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形,其中与△ABC相似的有 (
C
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：5. C
解析：
设每个小正方形边长为1，计算△ABC各边长：$AB=2$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边之比为$2:\sqrt{2}:\sqrt{10}=2\sqrt{2}:2:\sqrt{20}$（化简后为$\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$）。
情况1：选A、B两点
需找格点D使△ABD∽△ABC。AB=2，设AD=x，BD=y，相似比k。
若AB对应BC（$\sqrt{2}$），则$k=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，AD=k·AB=2$\sqrt{2}$，BD=k·AC=2$\sqrt{5}$，无符合格点。
若AB对应AC（$\sqrt{10}$），则$k=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，AD=k·BC=$\frac{\sqrt{10}}{5}×\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，非整数，无格点。
若AB对应AB（2），则k=1，需AD=BC=$\sqrt{2}$，BD=AC=$\sqrt{10}$，或AD=AC=$\sqrt{10}$，BD=BC=$\sqrt{2}$。经检验，点(0,1)满足AD=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{10}$，符合条件。
情况2：选A、C两点
AC=$\sqrt{10}$，找格点E使△ACE∽△ABC。
若AC对应AB（2），k=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，AE=k·BC=$\frac{\sqrt{10}}{2}×\sqrt{2}=\sqrt{5}$，CE=k·AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}×\sqrt{10}=5$，格点(1,2)满足AE=$\sqrt{5}$，CE=5，符合。
若AC对应BC（$\sqrt{2}$），k=$\sqrt{5}$，AE=k·AB=2$\sqrt{5}$，CE=k·AC=5$\sqrt{2}$，无格点。
若AC对应AC（$\sqrt{10}$），k=1，无新格点。
情况3：选B、C两点
BC=$\sqrt{2}$，找格点F使△BCF∽△ABC。
若BC对应AB（2），k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BF=k·AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{10}=\sqrt{5}$，CF=k·BC=1，格点(3,0)满足BF=$\sqrt{5}$，CF=1，符合。
其他比例无符合格点。
综上，符合条件的格点共3个。
答案：C
6. (3分)在△ABC中,AB=2,BC=3,AC=4,将△ABC的各边进行下列变换:① 各边的长度分别扩大为原来的3倍;② 各边的长度分别缩小为原来的$\frac{1}{3}$;③ 各边的长度分别增加2;④ 各边的长度分别平方.其中得到的三角形与△ABC相似的是
①②
.(填序号)
答案：6. ①②
