证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线。
∴DE//BC，BC=2DE（A、C正确）。
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC（B正确）。
∵相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ADE}=(\frac{1}{2})^2S_{△ABC}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$（D错误）。
结论：错误的是D。
D

解：
∵D，E为边AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，设AD=DE=EB=x，则AB=3x。
∵AC//DG，
∴△BDG∽△BAC，
∴$\frac{DG}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$，
∵AC=12，
∴DG=$\frac{2}{3}×12=8$。
∵AC//EF，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，
∴EF=$\frac{1}{3}×12=4$。
∵AC//DG//EF，
∴△AHD∽△FHE，
∴$\frac{DH}{EF}=\frac{AD}{AE}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}× EF=\frac{1}{2}×4=2$。
答案：C

由题意得：
$\begin{cases}\frac{a}{bc} = 2 \implies a = 2bc \\frac{b}{ac} = 2 \implies b = 2ac \\frac{c}{ab} = 2 \implies c = 2ab\end{cases}$
将 $a = 2bc$ 代入 $b = 2ac$，得 $b = 2(2bc)c = 4bc^2$，$b \neq 0$ 时，$1 = 4c^2 \implies c^2 = \frac{1}{4}$。
同理可得 $a^2 = \frac{1}{4}$，$b^2 = \frac{1}{4}$，即 $a^2 = b^2 = c^2 = \frac{1}{4}$。
三式相乘：$abc = 8a^2b^2c^2 = 8(abc)^2$，$abc \neq 0$ 时，$1 = 8abc \implies abc = \frac{1}{8}$。
则 $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{8}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = 6$。
答案：D

解：设 $ AF = x $，则 $ FD = 4 - x $。
∵ 正方形 $ ABCD $ 边长为 4，$ E $ 为 $ AB $ 中点，
∴ $ AE = EB = 2 $，$ AD = AB = BC = 4 $。
∵ $ EF ⊥ EC $，
∴ $ \angle FEC = 90° $，
∴ $ \angle AEF + \angle BEC = 90° $。
∵ $ \angle AEF + \angle AFE = 90° $，
∴ $ \angle AFE = \angle BEC $。
又 $ \angle A = \angle B = 90° $，
∴ $ \triangle AEF ∼ \triangle BCE $。
∴ $ \frac{AF}{BE} = \frac{AE}{BC} $，即 $ \frac{x}{2} = \frac{2}{4} $，解得 $ x = 1 $。
∴ $ AF = 1 $，$ FD = 3 $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle AEF $ 中，$ EF = \sqrt{AE^2 + AF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle BCE $ 中，$ EC = \sqrt{BE^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5} $。
∵ $ EF ⊥ EC $，
∴ $ S_{\triangle CEF} = \frac{1}{2} × EF × EC = \frac{1}{2} × \sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 5 $。
答案：C

解：设$DB = x$，则$AD = 2x$，$AB = 3x$。设$\frac{AE}{EC}=k$，设$EC = m$，则$AE = km$，$AC=(k + 1)m$。
$\because \angle A=\angle A$，$\therefore \triangle ADE∼\triangle ABC$（此处应为“两三角形有公共角，对应边成比例则相似”，但严格说需明确对应边比例，实际应为面积比与边长比关系）。
$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD}{AB}·\frac{AE}{AC}=\frac{2x}{3x}·\frac{km}{(k + 1)m}=\frac{2k}{3(k + 1)}$。
$\because \frac{2k}{3(k + 1)}=\frac{1}{2}$，解得$k = 3$。
$\therefore \frac{AE}{EC}=3$。
答案：C

证明：
∵ $AC // EF$，
∴ $\triangle BEF ∼ \triangle BAC$，
∴ $\frac{EF}{AC} = \frac{BF}{BC}$，即 $\frac{r}{p} = \frac{BF}{BC}$ ①.
∵ $EF // DB$，
∴ $\triangle CEF ∼ \triangle CDB$，
∴ $\frac{EF}{DB} = \frac{CF}{BC}$，即 $\frac{r}{q} = \frac{CF}{BC}$ ②.
① + ②得：$\frac{r}{p} + \frac{r}{q} = \frac{BF + CF}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1$.
两边同除以 $r$ 得：$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$.
结论：$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$
答案：C