答案：
26.(1)在$y=-x^{2}+(a + 1)x - a$中，令$x = 0$，得$y=-a$，所以$C(0,-a)$.因为点$C$在$x$轴上方，所以$-a＞0$，所以$a＜0$且$OC=-a$；令$y = 0$，得$-x^{2}+(a + 1)x - a=0$，解得$x = 1$或$x = a$.因为点$A$位于点$B$的左侧，所以$A(a,0)$，$B(1,0)$，所以$OA=-a$，$OB = 1$，所以$AB=OA + OB=1 - a$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}(1 - a)·(-a)=6$，即$a^{2}-a - 12=0$，解得$a_{1}=4$(不合题意，舍去)，$a_{2}=-3$.故$a$的值为$-3$.
(2)因为$a=-3$，所以$A(-3,0)$，$C(0,3)$，所以$\triangle OAC$为等腰直角三角形，所以线段$AC$的垂直平分线即为直线$y=-x$.因为$A(-3,0)$，$B(1,0)$，所以线段$AB$的垂直平分线为直线$x=-1$.联立方程组$\begin{cases}y=-x\\x=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y = 1\end{cases}$，所以$\triangle ABC$外接圆圆心的坐标为$(-1,1)$.
(3)如图，过点$A$作$AE⊥ PB$于点$E$，过点$Q$作$QF⊥ PB$于点$F$，则$AE// QF$.设$PA$与$BQ$的交点为$G$，延长$PQ$与$x$轴交于点$H$.因为$OA = OC$，$\angle AOC = 90^{\circ}$，所以$\angle OAC=\angle OCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOC)=45^{\circ}$.因为$\angle PAQ=\angle AQB$，所以$GQ = GA$.因为$AB = 4$，点$P$到$x$轴的距离为$d$，所以$S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}AB· d=2d$.因为$S_{\triangle QPB}=2d$，所以$S_{\triangle APB}=S_{\triangle QPB}$，所以$\frac{1}{2}PB· AE=\frac{1}{2}PB· QF$，所以$AE = QF$，所以四边形$AEFQ$为矩形，所以$AQ// BP$，所以$\angle ABP=\angle OAC = 45^{\circ}$，$\angle PAQ=\angle APB$，$\angle AQB=\angle QBP$，所以$\angle APB=\angle QBP$，所以$GB = GP$，所以$GB + GQ=GP + GA$，即$BQ = PA$.在$\triangle APB$与$\triangle QBP$中，$\begin{cases}PA = BQ\\\angle APB=\angle QBP\end{cases}$，所以$\triangle APB\cong\triangle QBP$，所以$\begin{cases}PB = BP\\\angle QPB=\angle ABP = 45^{\circ}\end{cases}$，所以$\angle PHB=180^{\circ}-\angle ABP-\angle QPB=90^{\circ}$，$BH = PH$，所以$P$，$Q$，$H$三点的横坐标相等.由(1)，得抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}-2x + 3$.设$P(t,-t^{2}-2t + 3)$，则$H(t,0)$.因为$BH = PH$，所以$1 - t=-(-t^{2}-2t + 3)$，解得$t_{1}=-4$，$t_{2}=1$(不合题意，舍去)，所以点$P$的横坐标为$-4$，所以点$Q$的横坐标也为$-4$.设直线$AC$的函数表达式为$y=kx + b$.把点$A(-3,0)$，$C(0,3)$分别代入$y=kx + b$，得$\begin{cases}-3k + b=0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 3\end{cases}$，所以直线$AC$的函数表达式为$y=x + 3$.在$y=x + 3$中，令$x=-4$，得$y=-4 + 3=-1$，所以点$Q$的坐标为$(-4,-1)$.