23. (6 分)新素养
推理能力 如图，$ DB $ 经过 $\odot O$ 的圆心，交 $\odot O$ 于点 $ A $，$ B $，$ DC $ 是 $\odot O$ 的切线，$ C $ 是切点. 已知 $\angle D = 30^{\circ} $，$ DC = \sqrt{3} $.
(1)求证：$\triangle BOC ∼ \triangle BCD $；
(2)求 $\triangle BCD$ 的周长.
答案：23.(1)因为$DC$是$\odot O$的切线，$C$是切点，所以$OC⊥ DC$，所以$\angle OCD=90°$。因为$\angle D=30°$，所以$\angle BOC=\angle D+\angle OCD=120°$。因为$OB=OC$，所以$\angle OBC=\angle OCB=\frac{1}{2}(180°-\angle BOC)=30°$，所以$\angle OCB=\angle D$。又$\angle OBC=\angle CBD$，所以$\triangle BOC∼\triangle BCD$。
(2)因为$\angle OCD=90°$，$\angle D=30°$，$DC=\sqrt{3}$，所以$OC=DC·\tan D=1$，$OD=\frac{DC}{\cos D}=2$，所以$OB=OC=1$，所以$BD=OD+OB=3$。因为$\angle OBC=\angle D=30°$，所以$BC=DC=\sqrt{3}$，所以$C_{\triangle BCD}=BC+DC+BD=2\sqrt{3}+3$。故$\triangle BCD$的周长为$2\sqrt{3}+3$。
24. (5 分)如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行. 为测量其宽度，小明在南岸边 $ B $ 处测得对岸边 $ A $ 处一棵大树位于北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向，他以 $ 1.5 \, \mathrm{m/s} $ 的速度沿着河岸向东步行 $ 40 \, \mathrm{s} $ 后到达 $ C $ 处，此时测得大树位于北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向，试计算此段河面的宽度.(结果取整数，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732 $)
答案：24.过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，则$\angle ADB=90°$。由题意，得$\angle BAD=60°$，$\angle CAD=45°$，$BC=1.5×40=60(\mathrm{m})$。设$AD=x\mathrm{ m}$，则$BD=AD·\tan\angle BAD=\sqrt{3}x\mathrm{ m}$，$CD=AD·\tan\angle CAD=x\mathrm{ m}$，所以$BC=BD-CD=(\sqrt{3}-1)x\mathrm{ m}$，所以$(\sqrt{3}-1)x=60$，解得$x=30(\sqrt{3}+1)\approx30×(1.732+1)\approx82$。故此段河面的宽度约为$82\mathrm{ m}$。
25. (6 分)新趋势 情境素材 (2023·辽宁营口)某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨 4 元，今年用 1440 元购进这款洗衣液的数量与去年用 1200 元购进这款洗衣液的数量相同. 当每瓶洗衣液的售价为 36 元时，每周可卖出 600 瓶. 为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液每瓶的售价每降低 1 元，每周的销量可增加 100 瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价.
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶的进价；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润为多少元？
答案：25.(1)设今年这款消毒洗衣液每瓶的进价为$x$元。由题意，得$\frac{1440}{x}=\frac{1200}{x-4}$，解得$x=24$。经检验，$x=24$是原分式方程的解且符合题意。故今年这款消毒洗衣液每瓶的进价为$24$元。
(2)设这款消毒洗衣液每瓶的售价为$a$元，每周的销售利润为$w$元。由题意，得$w=(a-24)[600+100(36-a)]=-100a^2+6600a-100800=-100(a-33)^2+8100$。因为$-100＜0$，$24\leq a＜36$，所以当$a=33$时，$w$取最大值$8100$。故当这款消毒洗衣液每瓶的售价为$33$元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润为$8100$元。
