20. (4 分)(2024·广东广州)如图，点 $ E $，$ F $ 分别在正方形 $ ABCD $ 的边 $ BC $，$ CD $ 上，$ BE = 3 $，$ EC = 6 $，$ CF = 2 $. 求证：$\triangle ABE ∼ \triangle ECF $.
答案：20.因为$BE=3$，$EC=6$，所以$BC=BE+EC=9$。因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle B=\angle C=90°$，$AB=BC=9$，所以$\frac{AB}{EC}=\frac{3}{2}$。因为$CF=2$，所以$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$，所以$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，所以$\triangle ABE∼\triangle ECF$。
解析：
证明：
∵ $ BE = 3 $，$ EC = 6 $，
∴ $ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9 $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ \angle B = \angle C = 90° $，$ AB = BC = 9 $。
∵ $ CF = 2 $，
∴ $ \frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} $，$ \frac{BE}{CF} = \frac{3}{2} $。
∴ $ \frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF} $。
又
∵ $ \angle B = \angle C $，
∴ $ \triangle ABE ∼ \triangle ECF $。
21. (6 分)(2025·四川南充)为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设 $ A $(川剧班)，$ B $(皮影班)，$ C $(剪纸班)，$ D $(木偶班)四类兴趣班. 学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”(四类中必选并只选一类)，调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求调查的总人数，并补全条形统计图；
(2)若该校共有 800 名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数；
(3)本次调研小组共有 5 人，其中男生 3 人，女生 2 人，现从 5 人中任意抽取 2 人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率.
答案：21.(1)由题意，得被调查的总人数为$26÷26\%=100$，其中最希望增设“木偶班”的学生人数为$100-(26+24+20)=30$。补全条形统计图略。
(2)由题意，得$800×\frac{30}{100}=240$(名)。故最希望增设“木偶班”的学生人数为$240$。
(3)将这$3$名男生和$2$名女生分别编号为男$1$、男$2$、男$3$，女$1$、女$2$。画树状图如下：
由树状图可知，共有$20$种等可能的结果，其中恰好抽中一男一女的结果有$12$种，所以$P$(恰好抽中一男一女)$=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
22. (6 分)(2023·湖南益阳改编)如图，在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$\angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC ＞ BC $，点 $ D $ 在边 $ AC $ 上，将线段 $ AD $ 绕点 $ D $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到线段 $ A'D $，线段 $ A'D $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，作 $ A'F ⊥ AB $ 于点 $ F $，与线段 $ AC $ 交于点 $ G $，连接 $ CF $，$ BG $. 求证：
(1)$\triangle ADE \cong \triangle A'DG $；
(2)$ AF · BG = AG · CF $.
答案：22.(1)由旋转的性质，得$A'D=AD$，$\angle ADE=90°$，所以$\angle A'+\angle A'GD=90°$，$\angle A'DG=180°-\angle ADE=90°$，所以$\angle ADE=\angle A'DG$。因为$A'F⊥ AB$，所以$\angle A'FA=90°$，所以$\angle A+\angle A'GD=90°$，所以$\angle A=\angle A'$。在$\triangle ADE$和$\triangle A'DG$中，$\begin{cases}\angle A=\angle A',\\AD=A'D,\\\angle ADE=\angle A'DG,\end{cases}$所以$\triangle ADE\cong\triangle A'DG$。
(2)因为$\angle FAG=\angle CAB$，$\angle AFG=\angle ACB=90°$，所以$\triangle AFG∼\triangle ACB$，所以$\frac{AF}{AC}=\frac{AG}{AB}$，所以$\frac{AF}{AG}=\frac{AC}{AB}$。又$\angle CAF=\angle BAG$，所以$\triangle CAF∼\triangle BAG$，所以$\frac{AF}{AG}=\frac{CF}{BG}$，所以$AF· BG=AG· CF$。
