7. 某种产品按质量分为$10$个档次，生产最低档次(即第$1$档次)产品，每件可获利润$8$元，每提高一个档次，每件产品的利润增加$2$元.用同样工时，最低档次产品每天可生产$60$件，每提高一个档次日产量将减少$3$件.设生产第$k(1\leqslant k\leqslant10$且$k$为整数)档次产品时，每天可获得的利润为$y$元，则当$y$取最大值时，$k$的值为(
C
)
A.$5$
B.$7$
C.$9$
D.$10$
答案：C
解析：
生产第$k$档次产品时，每件利润为$8 + 2(k - 1) = 2k + 6$元，日产量为$60 - 3(k - 1) = 63 - 3k$件。
利润$y=(2k + 6)(63 - 3k)=-6k^2 + 108k + 378$，其中$1\leqslant k\leqslant10$且$k$为整数。
该二次函数对称轴为$k=-\frac{108}{2×(-6)}=9$，开口向下。
当$k=9$时，$y$取最大值。
C
8. (2023·四川泸州)已知二次函数$y = ax^{2}-2ax + 3$.若当$0\lt x\lt3$时对应的函数值$y$均为正数，则$a$的取值范围为(
D
)
A.$0\lt a\lt1$
B.$a\lt - 1$或$a\gt3$
C.$-3\lt a\lt0$或$0\lt a\lt3$
D.$-1\leqslant a\lt0$或$0\lt a\lt3$
答案：D
解析：
当$a = 0$时，$y=3$，满足当$0\lt x\lt3$时$y$为正数，但选项中无此情况，故$a\neq0$。
二次函数$y = ax^{2}-2ax + 3$的对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
情况一：$a\gt0$
抛物线开口向上，在$0\lt x\lt3$范围内，最小值在对称轴$x = 1$处取得。
$y_{min}=a(1)^{2}-2a(1)+3=3 - a$。
要使$y\gt0$，则$3 - a\gt0$，解得$a\lt3$，故$0\lt a\lt3$。
情况二：$a\lt0$
抛物线开口向下，在$0\lt x\lt3$范围内，需端点处函数值非负。
当$x = 0$时，$y=3\gt0$；当$x = 3$时，$y=a(3)^{2}-2a(3)+3=3a + 3$。
令$3a+3\geq0$，解得$a\geq - 1$，故$-1\leqslant a\lt0$。
综上，$a$的取值范围为$-1\leqslant a\lt0$或$0\lt a\lt3$。
D
9. 如果一条抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“亮点三角形”，$[a,b,c]$称为“亮点三角形系数”.若某“亮点三角形系数”为$[-1,b,0]$的“亮点三角形”是锐角三角形，则$b$的值可以为(
D
)
A.$0$
B.$\pm1$
C.$\pm2$
D.$\pm3$
答案：9.D 解析：由题意，得该抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+bx=-(x-\frac{b}{2})^{2}+\frac{b^{2}}{4}$，所以顶点坐标为$(\frac{b}{2},\frac{b^{2}}{4})$.在$y=-x^{2}+bx$中，令$y=0$，得$-x^{2}+bx=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=b$，所以该抛物线与$x$轴的交点坐标分别为$(0,0)$，$(b,0)$.因为“亮点三角形”是锐角三角形，所以$\frac{b^{2}}{4}＞|\frac{b}{2}|$.分类讨论如下：
①当$b＞0$时，不等式可化为$\frac{b^{2}}{4}＞\frac{b}{2}$，即$\frac{b}{4}＞\frac{1}{2}$，解得$b＞2$；
②当$b＜0$时，不等式可化为$\frac{b^{2}}{4}＞-\frac{b}{2}$，即$\frac{b}{4}＜-\frac{1}{2}$，解得$b＜-2$.
综上所述，实数$b$的取值范围为$b＞2$或$b＜-2$，所以$b$的值可以为$\pm3$.
10. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴正半轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴负半轴交于点$C$.若点$B$的坐标为$(4,0)$，给出下列结论：①$abc\gt0$；②$4a + b\gt0$；③$M(x_{1},y_{1})$与$N(x_{2},y_{2})$是该抛物线上两点.若$0\lt x_{1}\lt x_{2}$，则$y_{1}\gt y_{2}$；④若该抛物线的对称轴是直线$x = 3$，$m$为任意实数，则$a(m - 3)(m + 3)\leqslant b(3 - m)$；⑤若$AB\geqslant3$，则$4b + 3c\gt0$.其中正确的个数是(
B
)
A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
答案：10.B 解析：因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴在$y$轴右侧，所以$-\frac{b}{2a}＞0$，所以$ab＜0$.因为该抛物线与$y$轴交于负半轴，所以$c＜0$，所以$abc＞0$，故①正确；因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$B(4,0)$，所以$16a+4b+c=0$，所以$4a+b=-\frac{c}{4}$.因为$c＜0$，所以$4a+b＞0$，故②正确；因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的开口向下，对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，且$-\frac{b}{2a}＞0$，所以当$0＜x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大，故③错误；若抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴是直线$x=3$，则$-\frac{b}{2a}=3$，所以$b=-6a$，所以$a(m - 3)(m + 3)-b(3 - m)=a(m - 3)(m + 3)-6a(m - 3)=a(m - 3)^{2}$.因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的开口向下，所以$a＜0$，所以$a(m - 3)(m + 3)-b(3 - m)\leq0$，所以$a(m - 3)(m + 3)\leq b(3 - m)$，故④正确；若$AB\geq3$，则点$A$的横坐标大于$0$且小于等于$1$，所以当$x=\frac{4}{3}$时，$y＞0$，即$\frac{16}{9}a+\frac{4}{3}b+c＞0$，所以$\frac{16}{3}a + 4b + 3c＞0$，所以$4b + 3c＞-\frac{16}{3}a$.因为$a＜0$，所以$-\frac{16}{3}a＞0$，所以$4b + 3c＞0$，故⑤正确.综上所述，其中正确结论的个数是$4$.
11. (2025·江苏连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线$y = a(x - 3)^{2}+2.5$运行，其中$x(m)$是铅球离初始位置的水平距离，$y(m)$是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度$OA$为$1.6m$，则铅球掷出的水平距离$OB$为
8
m.
答案：8
解析：
解：因为铅球抛出时离地面的高度$OA$为$1.6m$，此时水平距离$x = 0$，代入抛物线方程$y = a(x - 3)^{2}+2.5$，得$1.6 = a(0 - 3)^{2}+2.5$，即$1.6 = 9a + 2.5$，解得$a=-\frac{1}{10}$。
所以抛物线方程为$y = -\frac{1}{10}(x - 3)^{2}+2.5$。
铅球落地时$y = 0$，则$0 = -\frac{1}{10}(x - 3)^{2}+2.5$，即$(x - 3)^{2}=25$，解得$x = 8$或$x=-2$（舍去）。
故铅球掷出的水平距离$OB$为$8m$。
8
12. (2023·内蒙古包头)已知二次函数$y = -ax^{2}+2ax + 3(a\gt0)$.若点$P(m,3)$在该函数的图像上，且$m\neq0$，则$m$的值为
2
.
答案：2
解析：
因为点$P(m,3)$在二次函数$y = -ax^{2}+2ax + 3(a\gt0)$的图像上，所以将$P(m,3)$代入函数可得：$3=-am^{2}+2am + 3$，移项化简得$-am^{2}+2am=0$，提取公因式$-am$得$-am(m - 2)=0$。因为$a\gt0$，所以$-a\neq0$，则$m(m - 2)=0$，解得$m=0$或$m=2$。又因为$m\neq0$，所以$m=2$。
13. (2024·江苏苏州)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像经过点$A(0,m)$，$B(1,-m)$，$C(2,n)$，$D(3,-m)$，则$\frac{m}{n}=$
$-\frac{3}{5}$
.
答案：$-\frac{3}{5}$
解析：
解：因为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像经过点$B(1,-m)$，$D(3,-m)$，所以抛物线的对称轴为直线$x = \frac{1 + 3}{2}=2$。
又因为图像经过点$A(0,m)$，所以当$x = 0$时，$y = c = m$，即$c = m$。
当$x = 1$时，$y = a + b + c=-m$，将$c = m$代入得$a + b + m=-m$，即$a + b=-2m$ ①。
因为对称轴$x = -\frac{b}{2a}=2$，所以$-\frac{b}{2a}=2$，即$b=-4a$ ②。
将②代入①得：$a - 4a=-2m$，$-3a=-2m$，解得$a=\frac{2m}{3}$。
则$b=-4a=-4×\frac{2m}{3}=-\frac{8m}{3}$。
所以二次函数解析式为$y=\frac{2m}{3}x^{2}-\frac{8m}{3}x + m$。
因为图像经过点$C(2,n)$，将$x = 2$代入得：
$n=\frac{2m}{3}×2^{2}-\frac{8m}{3}×2 + m=\frac{8m}{3}-\frac{16m}{3}+m=-\frac{8m}{3}+m=-\frac{5m}{3}$。
所以$\frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5m}{3}}=-\frac{3}{5}$。
$-\frac{3}{5}$
14. 在平面直角坐标系中，$O$是原点，点$A$的坐标为$(-8,0)$，$□ OABC$的顶点$B$，$C$在抛物线$y = -\frac{1}{4}x^{2}+8$上，对角线的交点为$M$.若将该抛物线向下平移$a(a\gt0)$个单位长度后经过点$M$，则$a=$
5
.
答案：5
解析：
解：设点$C$的坐标为$(m,-\frac{1}{4}m^{2}+8)$。
因为四边形$OABC$是平行四边形，$O(0,0)$，$A(-8,0)$，所以点$B$的坐标为$(m - 8,-\frac{1}{4}m^{2}+8)$。
又因为点$B$在抛物线$y=-\frac{1}{4}x^{2}+8$上，所以$-\frac{1}{4}(m - 8)^{2}+8=-\frac{1}{4}m^{2}+8$，解得$m = 4$。
则点$C(4,4)$，$B(-4,4)$，对角线交点$M$的坐标为$(\frac{-8 + 0}{2},\frac{0 + 4}{2})=(-4,2)$。
抛物线向下平移$a$个单位后解析式为$y=-\frac{1}{4}x^{2}+8 - a$，将$M(-4,2)$代入得$2=-\frac{1}{4}×(-4)^{2}+8 - a$，解得$a = 5$。
5
15. 若对于任意实数$a$，抛物线$y = x^{2}+2ax + a + b$与$x$轴都有交点，则$b$的取值范围是
$b\leq-\frac{1}{4}$
.
答案：$b\leq-\frac{1}{4}$
解析：
解：抛物线$y = x^{2}+2ax + a + b$与$x$轴有交点，即方程$x^{2}+2ax + a + b=0$有实数根。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A\neq0$），判别式$\Delta = B^2 - 4AC\geq0$。
在方程$x^{2}+2ax + a + b=0$中，$A = 1$，$B = 2a$，$C = a + b$，则$\Delta=(2a)^2 - 4×1×(a + b)\geq0$，
化简得$4a^2 - 4a - 4b\geq0$，即$a^2 - a - b\geq0$，$b\leq a^2 - a$。
对于二次函数$y = a^2 - a$，其图像开口向上，对称轴为$a = -\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$，
当$a = \frac{1}{2}$时，$y_{\mathrm{min}}=(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}=-\frac{1}{4}$。
因为对于任意实数$a$，$b\leq a^2 - a$恒成立，所以$b\leq-\frac{1}{4}$。
$b\leq-\frac{1}{4}$
16. 已知二次函数$y = -x^{2}-2x + 3$，当$a\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}$时，函数值$y$的最小值为$1$，则$a=$
$-1-\sqrt{3}$
.
答案：$-1-\sqrt{3}$
解析：
解：二次函数$y = -x^{2}-2x + 3$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，开口向下。
当$y=1$时，$-x^{2}-2x + 3=1$，即$x^{2}+2x - 2=0$，解得$x=-1\pm\sqrt{3}$。
因为当$a\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}$时，函数值$y$的最小值为$1$，且对称轴$x=-1$，开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小。$\frac{1}{2} ＞ -1$，在$x=\frac{1}{2}$处$y=-(\frac{1}{2})^{2}-2×\frac{1}{2}+3=\frac{7}{4} ＞ 1$，所以最小值在区间左端点取得，即$a=-1-\sqrt{3}$。
$-1-\sqrt{3}$
