解：对于抛物线$y = x^{2}+mx$，其对称轴为直线$x=-\dfrac{m}{2}$。
已知对称轴为直线$x = 2$，则$-\dfrac{m}{2}=2$，解得$m=-4$。
方程$x^{2}+mx = 5$可化为$x^{2}-4x - 5=0$。
因式分解得$(x - 5)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$。
D

要使二次函数$y = ax^{2}+(2a - 3)x + a - 1$的图像在第一、二、四象限，需满足以下条件：
1. 抛物线开口方向：图像在第一、二、四象限，抛物线开口向上，所以$a＞0$。
2. 与$y$轴交点：令$x=0$，得$y=a - 1$。图像在第二象限，$y$轴交点在正半轴，所以$a - 1\geq0$，即$a\geq1$。
3. 与$x$轴交点：图像在第四象限，抛物线与$x$轴正半轴有两个交点，判别式$\Delta＞0$。
$\Delta=(2a - 3)^{2}-4a(a - 1)=4a^{2}-12a + 9 - 4a^{2}+4a=-8a + 9＞0$，解得$a＜\frac{9}{8}$。
综上，$1\leqslant a＜\frac{9}{8}$。
A

解：
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$。
∵对称轴为直线$x=2$，
∴$-\frac{b}{2a}=2$，即$b=-4a$，$4a+b=0$（B正确）。
∵抛物线过点$(6,0)$，对称轴为$x=2$，
∴另一交点为$(-2,0)$。
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
∵$a＜0$，$b=-4a＞0$，$c＞0$，
∴$bc＞0$（A正确）。
若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$，则$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0$，
即$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，
∵$x_1≠x_2$，
∴$a(x_1+x_2)+b=0$，
又$b=-4a$，
∴$x_1+x_2=4$（C正确）。
∵点$(-1,y_1)$到对称轴距离为$3$，点$(3,y_2)$到对称轴距离为$1$，
抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，
∴$y_2＞y_1$（D错误）。
结论：错误的是D。
D

二次函数$y = x^{2}-2x$的对称轴为$x = 1$，开口向上。
因为当$x = 1$时函数取得最小值，所以$1$在区间$[-1, t - 1]$内，即$t - 1\geq1$，解得$t\geq2$。
当$x = -1$时函数取得最大值，此时需满足$t - 1\leq3$（因为点$x = 3$与$x = -1$关于对称轴$x = 1$对称，当$t - 1 ＞ 3$时，$x = t - 1$处函数值大于$x = -1$处函数值），解得$t\leq4$。
综上，$t$的取值范围为$2\leq t\leq4$。
C

将二次函数$y = x^{2}-4x + a$配方得$y=(x - 2)^{2}+a - 4$。
向左平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度后，函数解析式为$y=(x - 2 + 1)^{2}+a - 4 + 1=(x - 1)^{2}+a - 3$。
令$y = 2$，则$(x - 1)^{2}+a - 3=2$，即$(x - 1)^{2}=5 - a$。
因为函数图像与直线$y = 2$有两个交点，所以$5 - a\gt0$，解得$a\lt5$。
D