9. (2025·江苏连云港模拟)某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图所示的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是(
D
)
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B.一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C.暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球
D.抛一枚质地均匀的正六面体骰子,朝上的面点数是4
答案：9.D
解析：
由折线统计图可知，试验结果的频率稳定在$0.15$到$0.20$之间。
A. 在“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出“剪刀”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，不符合。
B. 一副去掉大、小王的普通扑克牌有$52$张，红桃有$13$张，任抽一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，不符合。
C. 暗箱中有$1$个红球和$2$个黄球，任取一球是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.67$，不符合。
D. 抛一枚质地均匀的正六面体骰子，朝上的面点数是$4$的概率为$\frac{1}{6}\approx0.17$，符合频率稳定范围。
D
10. 新趋势
传统文化 我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率. 随着时代发展,现在人们依据频率估计概率这一原理,常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计,用计算机随机产生m个有序数对(x,y)(x,y是实数,且0≤x≤1,0≤y≤1),它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部. 若统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个,则据此可估计π的值为
$\frac{4n}{m}$
.(用含m,n的式子表示)
答案：10.$\frac{4n}{m}$ 解析:因为m个有序数对(x,y)对应的点全部在某一个正方形的边界及其内部，且0≤x≤1，0≤y≤1，所以这个正方形的边长为1且它的四个顶点的坐标分别为(0,0)，(1,0)，(1,1)，(0,1).如图，由题意，得有n个有序数对(x,y)对应的点落在阴影部分，所以每个点落在阴影部分的频率为$\frac{n}{m}$，每个点落在阴影部分的概率为$\frac{\frac{1}{4}\pi}{1}$.因为当试验次数足够多时，可用频率估计概率，所以$\frac{\frac{1}{4}\pi}{1}$≈$\frac{n}{m}$，解得π≈$\frac{4n}{m}$.故可估计π的值为$\frac{4n}{m}$.
11. 一个不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有数字3,4,5,x. 甲、乙两人每次同时从袋中各任意摸出1个小球,并计算摸出的这2个小球上的数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀,进行重复试验. 试验数据如下表:
解答下列问题:
(1) 若试验继续进行下去,根据上表数据,“和为8”出现的频率将稳定在它的概率附近,则估计“和为8”出现的概率是
0.33(或$\frac{1}{3}$)
;
(2) 若摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是$\frac{1}{3},$则x的值可以取7吗? 请说明理由;若x的值不可以取7,请写出符合要求的x值.
答案：11.(1)0.33(或$\frac{1}{3}$)
(2)当x=7时，列表如下:
乙
结果 3 4 5 7
甲
3 7 8 10
4 7 9 11
5 8 9 12
7 10 11 12
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中和为9的结果有2种，所以这两个小球上数字之和为9的概率是$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$，所以x的值不可以取7.
列表如下:
乙
结果 3 4 5 x
甲
3 7 8 3+x
4 7 9 4+x
5 8 9 5+x
x x+3 x+4 x+5
因为这两个小球上数字之和为9的概率是$\frac{1}{3}$，所以这两个小球上数字之和为9的结果有12×$\frac{1}{3}$=4(种)，所以3+x=9或4+x=9或5+x=9，解得x=6或x=5或x=4.当x=6时，“和为8”出现的概率为$\frac{1}{6}$，不合题意，所以x=6舍去，所以x的值为4或5.
