7. (2024·内蒙古赤峰)综合实践课上，航模小组用无人机测量古树 $ AB $ 的高度。如图，$ C $ 处与古树底部 $ A $ 处在同一水平面上，且 $ AC = 10 \, \mathrm{m} $，无人机从 $ C $ 处竖直上升到达 $ D $ 处，测得古树顶部 $ B $ 的俯角为 $ 45^{\circ} $，古树底部 $ A $ 的俯角为 $ 65^{\circ} $，则古树 $ AB $ 的高度约为
11.5
$ \mathrm{m} $。(结果精确到 $ 0.1 \, \mathrm{m} $，参考数据：$\sin 65^{\circ} \approx 0.906$，$\cos 65^{\circ} \approx 0.423$，$\tan 65^{\circ} \approx 2.145$)
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答案：7.11.5
解析：
解：过点$D$作$DE ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$E$，则四边形$ACDE$为矩形，$DE = AC = 10\,\mathrm{m}$，$AE = CD$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ADE$中，$\tan 65^{\circ}=\dfrac{AE}{DE}$，$AE = DE · \tan 65^{\circ}\approx 10× 2.145 = 21.45\,\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle BDE$中，$\tan 45^{\circ}=\dfrac{BE}{DE}$，$BE = DE · \tan 45^{\circ}=10× 1 = 10\,\mathrm{m}$。
$AB = AE - BE = 21.45 - 10 = 11.45\approx 11.5\,\mathrm{m}$。
11.5
8. 新素养
几何直观 如图，海中有一个小岛 $ A $，一艘轮船由西向东航行，在点 $ B $ 测得小岛 $ A $ 在北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上；航行 $ 12 \, \mathrm{n mile} $ 到达点 $ C $，这时测得小岛 $ A $ 在北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上。小岛 $ A $ 到航线 $ BC $ 的距离是
10.4
$ \mathrm{n mile} $。(结果精确到 $ 0.1 \, \mathrm{n mile} $，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$)
]
答案：8.10.4解析:过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,则∠ADB = 90°.由题意，得∠ABD = 90° - 60° = 30°,∠ACD = 90° - 30° = 60°,BC = 12 n mile.设AD = x n mile,则$BD=\frac{AD}{\tan\angle ABD}=\frac{x}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x$ n mile,$CD=\frac{AD}{\tan\angle ACD}=\frac{x}{\tan60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ n mile,所以BC = BD - CD =$\frac{2\sqrt{3}}{3}x$ n mile,所以$\frac{2\sqrt{3}}{3}x = 12$,解得$x = 6\sqrt{3}$,则$AD\approx6×1.73 = 10.4(\mathrm{n mile})$.故小岛A到射线BC的距离是10.4 n mile.
解析：
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，则$\angle ADB = 90°$。
由题意得：$\angle ABD = 90° - 60° = 30°$，$\angle ACD = 90° - 30° = 60°$，$BC = 12\ \mathrm{n mile}$。
设$AD = x\ \mathrm{n mile}$，在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$BD = \frac{AD}{\tan\angle ABD} = \frac{x}{\tan30°} = \sqrt{3}x\ \mathrm{n mile}$；在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$CD = \frac{AD}{\tan\angle ACD} = \frac{x}{\tan60°} = \frac{\sqrt{3}}{3}x\ \mathrm{n mile}$。
因为$BC = BD - CD$，所以$\sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x = 12$，即$\frac{2\sqrt{3}}{3}x = 12$，解得$x = 6\sqrt{3}$。
则$AD \approx 6 × 1.73 = 10.4\ \mathrm{n mile}$。
故小岛$A$到航线$BC$的距离是$10.4\ \mathrm{n mile}$。
9. 如图，在港口 $ A $ 处的正东方向有两个相距 $ 6 \, \mathrm{km} $ 的观测点 $ B $，$ C $。一艘轮船从 $ A $ 处出发，沿北偏东 $ 26^{\circ} $ 方向航行至 $ D $ 处，在 $ B $，$ C $ 处分别测得 $ \angle ABD = 45^{\circ} $，$ \angle C = 37^{\circ} $。求轮船航行的距离 $ AD $。(参考数据：$\sin 26^{\circ} \approx 0.44$，$\cos 26^{\circ} \approx 0.90$，$\tan 26^{\circ} \approx 0.49$，$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$)
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答案：9.过点D作DH⊥AC于点H,则∠AHD = ∠CHD = 90°.因为∠C = 37°,所以$CH=\frac{DH}{\tan C}\approx\frac{4}{3}DH$.因为∠ABD = 45°,所以$BH=\frac{DH}{\tan\angle ABD}=DH$,所以BC = CH - BH =$\frac{1}{3}DH$.因为BC = 6 km,所以DH = 3BC = 18 km.因为∠ADH = 26°,所以$AD=\frac{DH}{\cos\angle ADH}\approx\frac{18}{0.90}=20(\mathrm{km})$.故轮船航行的距离AD约为20 km.
解析：
解：过点$D$作$DH ⊥ AC$于点$H$，则$\angle AHD = \angle CHD = 90°$。
在$Rt\triangle DHC$中，$\angle C = 37°$，$\tan C = \frac{DH}{CH}$，则$CH = \frac{DH}{\tan 37°} \approx \frac{DH}{0.75} = \frac{4}{3}DH$。
在$Rt\triangle DHB$中，$\angle ABD = 45°$，$\tan \angle ABD = \frac{DH}{BH}$，则$BH = \frac{DH}{\tan 45°} = DH$。
因为$BC = CH - BH$，且$BC = 6\ \mathrm{km}$，所以$\frac{4}{3}DH - DH = 6$，解得$DH = 18\ \mathrm{km}$。
在$Rt\triangle AHD$中，$\angle DAH = 90° - 26° = 64°$，$\angle ADH = 26°$，$\cos \angle ADH = \frac{DH}{AD}$，则$AD = \frac{DH}{\cos 26°} \approx \frac{18}{0.90} = 20\ \mathrm{km}$。
答：轮船航行的距离$AD$约为$20\ \mathrm{km}$。
10. (2025·江苏徐州模拟)如图，校园内有一株枯死的大树 $ AB $，距树 $ 12 \, \mathrm{m} $ 处有一栋教学楼 $ CD $，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶 $ D $ 处，测得点 $ B $ 的仰角为 $ 45^{\circ} $，点 $ A $ 的俯角为 $ 30^{\circ} $。小青计算后得到如下结论：① $ AB \approx 18.8 \, \mathrm{m} $；② $ CD \approx 8.4 \, \mathrm{m} $；③ 若直接从点 $ A $ 处砍伐，树干倒向教学楼 $ CD $ 方向会对教学楼有影响；④ 若第一次在与点 $ A $ 距离为 $ 8 \, \mathrm{m} $ 处的树干上砍伐，树干倒向教学楼 $ CD $ 方向不会对教学楼造成危害。其中正确的是
①③④
。(填序号，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.7$，$\sqrt{2} \approx 1.4$)
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答案：10.①③④ 解析:过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED = ∠BED = 90°.由题意,得CD = AE,DE = AC = 12 m,∠ADE = 30°,∠BDE = 45°,所以$CD = AE = DE·\tan\angle ADE = 4\sqrt{3}\approx6.8$ m,$BE = DE·\tan\angle BDE = 12$ m,所以AB = AE + BE = 18.8 m,故①正确,②错误;因为$AD=\frac{DE}{\cos\angle ADE}=8\sqrt{3}\approx13.6$ m,所以AB＞AD,所以若直接从点A处砍伐,树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响,故③正确;因为18.8 - 8 = 10.8(m),且10.8＜12,所以若第一次在与点A距离为8 m处的树干上砍伐,树干倒向教学楼CD方向不会对教学楼造成危害,故④正确.
解析：
解：过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，则$\angle AED = \angle BED = 90°$。
由题意得：$CD = AE$，$DE = AC = 12\ \mathrm{m}$，$\angle ADE = 30°$，$\angle BDE = 45°$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ADE$中，$AE = DE · \tan\angle ADE = 12 · \tan30° = 12 · \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 4 × 1.7 = 6.8\ \mathrm{m}$，故$CD = AE \approx 6.8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle BDE$中，$BE = DE · \tan\angle BDE = 12 · \tan45° = 12 × 1 = 12\ \mathrm{m}$。
$AB = AE + BE \approx 6.8 + 12 = 18.8\ \mathrm{m}$，故①正确，②错误。
在$\mathrm{Rt}\triangle ADE$中，$AD = \frac{DE}{\cos\angle ADE} = \frac{12}{\cos30°} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{3} \approx 8 × 1.7 = 13.6\ \mathrm{m}$，因为$AB \approx 18.8\ \mathrm{m} ＞ AD$，所以若直接从点$A$处砍伐，树干倒向教学楼$CD$方向会对教学楼有影响，故③正确。
若在与点$A$距离为$8\ \mathrm{m}$处砍伐，则剩余树干长度为$18.8 - 8 = 10.8\ \mathrm{m}$，因为$10.8\ \mathrm{m} ＜ 12\ \mathrm{m}$，所以不会对教学楼造成危害，故④正确。
综上，正确的是①③④。
11. 新素养 应用意识 如图，已知斜坡 $ AB $ 长 $ 60\sqrt{2} \, \mathrm{m} $，坡角(即 $ \angle BAC $)为 $ 45^{\circ} $，$ BC ⊥ AC $，现计划在斜坡中点 $ D $ 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线 $ CA $ 的休闲平台 $ DE $ 和一条新的斜坡 $ BE $。
(1) 若修建的斜坡 $ BE $ 的坡度为 $ \sqrt{3}:1 $，求休闲平台 $ DE $ 的长；
(2) 一座建筑物 $ GH $ 距离点 $ A $ $ 33 \, \mathrm{m} $，赵亮在点 $ D $ 测得该建筑物顶部 $ H $ 的仰角为 $ 30^{\circ} $，点 $ B $，$ C $，$ A $，$ G $，$ H $ 在同一平面内，点 $ C $，$ P $，$ A $，$ G $ 在同一条直线上，且 $ DP ⊥ CG $，$ HG ⊥ CG $，求建筑物 $ GH $ 的高。
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答案：11.(1)延长DE交BC于点F.因为BC⊥AC,所以∠C = 90°.因为DE//CA,所以∠BDF = ∠BAC = 45°,∠BFD = ∠C = 90°.因为D是AB的中点,$AB = 60\sqrt{2}$ m,所以$BD=\frac{1}{2}AB = 30\sqrt{2}$ m,所以$DF = BD·\cos\angle BDF = 30$ m,$BF = BD·\sin\angle BDF = 30$ m.因为斜坡BE的坡度为$\sqrt{3}:1$,所以$\frac{BF}{EF}=\sqrt{3}$,所以$EF = 10\sqrt{3}$ m,所以DE = DF - EF =$(30 - 10\sqrt{3})$ m.故休闲平台DE的长是$(30 - 10\sqrt{3})$ m.
(2)延长ED交HG于点M.因为DP⊥CG,HG⊥CG,所以∠DPC = ∠DPG = ∠MGP = 90°.因为DE//CA,所以∠DMH = ∠MGP = 90°,∠DMG = 180° - ∠MGP = 90°,所以四边形DPGM是矩形,所以DM = PG,GM = PD.因为∠C = 90°,所以∠CFD = 180° - ∠C = 90°,所以四边形PDFC是矩形,所以PD = CF,所以GM = PD = CF.因为$AB = 60\sqrt{2}$ m,∠BAC = 45°,所以$BC = AB·\sin\angle BAC = 60$ m.因为BF = 30 m,所以GM = PD = CF = BC - BF = 30 m,所以$AP=\frac{PD}{\tan\angle BAC}=30$ m.因为AG = 33 m,所以DM = PG = AP + AG = 63 m.因为∠HDM = 30°,所以$HM = DM·\tan\angle HDM = 21\sqrt{3}$ m,所以GH = GM + HM =$(30 + 21\sqrt{3})$ m.故建筑物GH的高为$(30 + 21\sqrt{3})$ m.
