1. (2024·四川雅安)如图，在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房 $ CD $ 的高度。他们在 $ A $ 处仰望楼顶，测得仰角为 $ 30^{\circ} $，再往楼的方向前进 $ 50 \, \mathrm{m} $ 至 $ B $ 处，测得仰角为 $ 60^{\circ} $，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(
A
)
A.$ 25\sqrt{3} \, \mathrm{m} $
B.$ 25 \, \mathrm{m} $
C.$ 25\sqrt{2} \, \mathrm{m} $
D.$ 50 \, \mathrm{m} $
答案：1.A
解析：
解：设楼的高度为$CD = h$，$BC = x$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\tan 60° = \frac{CD}{BC} = \frac{h}{x}$，则$h = x\tan 60° = x\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\tan 30° = \frac{CD}{AC} = \frac{h}{AB + BC} = \frac{h}{50 + x}$，则$h = (50 + x)\tan 30° = (50 + x)\frac{\sqrt{3}}{3}$。
联立得：$x\sqrt{3} = (50 + x)\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$x = 25$。
所以$h = 25\sqrt{3}$。
答案：A
2. (教材 P121 复习题 14 变式)(2025·江苏连云港模拟)如图，为了测量某建筑物 $ BC $ 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端 $ B $ 在同一水平线上的点 $ A $ 出发，沿斜坡 $ AD $ 行走 $ 130 \, \mathrm{m} $ 至坡顶 $ D $ 处，再从 $ D $ 处沿水平方向继续前行若干米后至点 $ E $ 处，在点 $ E $ 测得该建筑物顶端 $ C $ 的仰角为 $ 60^{\circ} $，建筑物底端 $ B $ 的俯角为 $ 45^{\circ} $，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 在同一平面内，斜坡 $ AD $ 的坡度 $ i = 1:2.4 $。根据小颖的测量数据，计算出建筑物 $ BC $ 的高度约为(参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$)(
A
)
A.$ 136.6 \, \mathrm{m} $
B.$ 86.7 \, \mathrm{m} $
C.$ 186.7 \, \mathrm{m} $
D.$ 86.6 \, \mathrm{m} $
答案：2.A解析:如图,过点D作DF⊥AB于点F,延长DE交BC于点G,则∠AFD=∠BFD=∠BGE=∠CGE=90°,∠CEG=60°,∠BEG=45°.因为∠FBG=90°,所以四边形BFDG是矩形,所以BG=DF;由题意,得$\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2.4}=\frac{5}{12}$.设DF = 5x m,则AF = 12x m,所以$AD=\sqrt{DF^{2}+AF^{2}} = 13x$ m.因为AD = 130 m,所以13x = 130,解得x = 10,所以BG = DF = 50 m,所以$EG=\frac{BG}{\tan\angle BEG}=50$ m,所以$CG = EG·\tan\angle CEG = 50\sqrt{3}\approx86.6$ m,所以BC = BG + CG = 136.6 m.故建筑物BC的高度约为136.6 m.
3. (2025·内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端 $ A $，$ B $ 的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面 $ 90 \, \mathrm{m} $ 的点 $ C $ 处，从点 $ C $ 测得点 $ A $ 的俯角为 $ 60^{\circ} $，测得点 $ B $ 的俯角为 $ 30^{\circ} $($ A $，$ B $，$ C $
三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端 $ A $，$ B $ 的距离为
120$\sqrt{3}$
$ \mathrm{m} $。
]
答案：3.120$\sqrt{3}$
解析：
解：过点 $ C $ 作 $ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，则 $ CD = 90\ \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ACD $ 中，$\angle CAD = 60°$，$\tan 60° = \frac{CD}{AD}$，
$\therefore AD = \frac{CD}{\tan 60°} = \frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle BCD $ 中，$\angle CBD = 30°$，$\tan 30° = \frac{CD}{BD}$，
$\therefore BD = \frac{CD}{\tan 30°} = \frac{90}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 90\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB = AD + BD = 30\sqrt{3} + 90\sqrt{3} = 120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$120\sqrt{3}$
4. 如图，小明在距离地面 $ 30 \, \mathrm{m} $ 的 $ P $ 处测得 $ A $ 处的俯角为 $ 15^{\circ} $，$ B $ 处的俯角为 $ 60^{\circ} $。若斜面坡度为 $ 1:\sqrt{3} $，则斜坡 $ AB $ 的长是
20$\sqrt{3}$
$ \mathrm{m} $。
答案：4.20$\sqrt{3}$ 解析:如图，因为斜面坡度为$1:\sqrt{3}$，所以$\tan\angle ABC=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以∠ABC = 30°.因为在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，所以∠APB = 60° - 15° = 45°，∠HBP = 60°，所以∠PBA = 180° - ∠HBP - ∠ABC = 90°，所以∠BAP = 90° - ∠APB = 45°，所以∠BAP = ∠APB，所以AB = PB.因为PH = 30 m，∠H = 90°，所以$AB = PB=\frac{PH}{\sin\angle HBP}=20\sqrt{3}$ m.故斜坡AB的长是$20\sqrt{3}$ m.
易错警示:要能理清示意图中角度之间的数量关系.
5. 新趋势
情境素材 (2024·青海)如图，某种摄像头识别到最远点 $ A $ 的俯角 $ \alpha $ 是 $ 17^{\circ} $，识别到最近点 $ B $ 的俯角 $ \beta $ 是 $ 45^{\circ} $。若该摄像头安装在距地面 $ 5 \, \mathrm{m} $ 的点 $ C $ 处，求最远点与最近点之间的距离 $ AB $。(结果取整数，参考数据：$\sin 17^{\circ} \approx 0.29$，$\cos 17^{\circ} \approx 0.96$，$\tan 17^{\circ} \approx 0.31$)
]
答案：5.由题意,得∠D = 90°,CD = 5 m,∠A = 17°,∠CBD = 45°,所以$AD=\frac{CD}{\tan A}\approx\frac{5}{0.31}\approx16.1(\mathrm{m})$,$BD=\frac{CD}{\tan\angle CBD}=5$ m,所以AB = AD - BD = 11.1 m≈11 m.故最远点与最近点之间的距离AB为11 m.
解析：
解：由题意，得$\angle D=90°$，$CD=5\,\mathrm{m}$，$\angle A=17°$，$\angle CBD=45°$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，则$AD=\frac{CD}{\tan A}\approx\frac{5}{0.31}\approx16.1\,\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle BCD$中，$\tan\angle CBD=\frac{CD}{BD}$，则$BD=\frac{CD}{\tan 45°}=\frac{5}{1}=5\,\mathrm{m}$。
所以$AB=AD-BD\approx16.1-5=11.1\,\mathrm{m}\approx11\,\mathrm{m}$。
答：最远点与最近点之间的距离$AB$为$11\,\mathrm{m}$。
6. 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面内，旗杆与地面垂直，在教学楼底部点 $ E $ 处测得旗杆顶端的仰角 $ \angle AED = 58^{\circ} $，升旗台底部到教学楼底部的距离 $ DE = 7 \, \mathrm{m} $，升旗台坡面 $ CD $ 的坡度 $ i = 1:0.75 $，坡长 $ CD = 2 \, \mathrm{m} $。若旗杆底部到坡面 $ CD $ 的水平距离 $ BC = 1 \, \mathrm{m} $，则旗杆 $ AB $ 的高度约为(参考数据：$\sin 58^{\circ} \approx 0.85$，$\cos 58^{\circ} \approx 0.53$，$\tan 58^{\circ} \approx 1.6$)(
B
)
A.$ 12.6 \, \mathrm{m} $
B.$ 13.1 \, \mathrm{m} $
C.$ 14.7 \, \mathrm{m} $
D.$ 16.3 \, \mathrm{m} $
答案：6.B解析:如图，分别延长AB,ED交于点M,过点C作CN⊥DE,交ED的延长线于点N,则∠CND = ∠CNM = 90°.由题意,得∠BMN = 90°,BC//MN,所以∠MBC = 180° - ∠BMN = 90°,所以四边形BCNM是矩形,所以MN = BC = 1 m,BM = CN.因为CD的坡度$i = 1:0.75$,所以$\frac{CN}{DN}=\frac{1}{0.75}=\frac{4}{3}$.设CN = 4x m,则DN = 3x m,所以$CD=\sqrt{CN^{2}+DN^{2}} = 5x$ m.因为CD = 2 m,所以5x = 2,解得x = 0.4,所以BM = CN = 1.6 m,DN = 1.2 m.因为DE = 7 m,所以ME = MN + DN + DE = 9.2 m.因为∠AEM = 58°,所以$AM = ME·\tan\angle AEM\approx9.2×1.6 = 14.72(\mathrm{m})$,所以AB = AM - BM = 13.12 m≈13.1 m.故旗杆AB的高度约为13.1 m.
