1. (2025·天津)计算 $\tan 45^{\circ}-\sqrt{2}\cos 45^{\circ}$ 的结果为(
A
)
A.$0$
B.$1$
C.$1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1-\sqrt{2}$
答案：1.A
解析：
$\tan 45^{\circ}-\sqrt{2}\cos 45^{\circ}=1-\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1-1=0$，结果为A。
2. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\tan A = 1,\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则下列判断中，最恰当的是(
B
)
A.$\triangle ABC$ 是等腰三角形
B.$\triangle ABC$ 是等腰直角三角形
C.$\triangle ABC$ 是直角三角形
D.$\triangle ABC$ 是锐角三角形
答案：2.B
解析：
在$\triangle ABC$中，
因为$\tan A = 1$，且$0° ＜ A ＜ 180°$，所以$A = 45°$；
因为$\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$0° ＜ B ＜ 180°$，所以$B = 45°$或$B = 135°$；
当$B = 135°$时，$A + B = 45° + 135° = 180°$，不符合三角形内角和为$180°$，舍去；
故$B = 45°$，则$C = 180° - A - B = 180° - 45° - 45° = 90°$；
所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
B
3. 若等腰三角形的腰长为 $1$，底边上的高为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则该等腰三角形顶角的度数为(
D
)
A.$120^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$
答案：3.D 解析：如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC=1$，$AD$是高，且$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\angle B=\angle C$，$\angle ADC=90°$，所以$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\angle B=\angle C=45°$，所以$\angle BAC=180°-\angle B-\angle C=90°$。故该等腰三角形顶角的度数为$90°$。
4. 计算：$\sin 30^{\circ}=$
$\frac{1}{2}$
.
答案：4.$\frac{1}{2}$
5. 已知 $\angle A$ 为锐角.若 $\cos A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\angle A$ 的度数为
$30^{\circ}$
.
答案：5.$30°$
6. 已知 $4\cos ^{2}\alpha -2(1+\sqrt{3})\cos \alpha +\sqrt{3}=0$，则锐角 $\alpha$ 的度数为
$60^{\circ}$或$30^{\circ}$
.
答案：6.$60°$或$30°$ 解析：因为$4\cos^2\alpha-2(1+\sqrt{3})\cos\alpha+\sqrt{3}=0$，所以$(2\cos\alpha-1)(2\cos\alpha-\sqrt{3})=0$，所以$\cos\alpha=\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以锐角$\alpha$的度数为$60°$或$30°$。
解析：
$(2\cos\alpha - 1)(2\cos\alpha - \sqrt{3}) = 0$，
$\cos\alpha = \frac{1}{2}$或$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\alpha = 60°$或$30°$。
7. (教材 P106 习题 3 变式)如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 30^{\circ},\angle B = 45^{\circ},AC = 2\sqrt{3}$，求 $BC$ 和 $AB$ 的长.
答案：7.过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，则$\angle ADC=\angle BDC=90°$。因为$\angle A=30°$，$AC=2\sqrt{3}$，所以$CD=AC·\sin A=\sqrt{3}$，$AD=AC·\cos A=3$。因为$\angle B=45°$，所以$BC=\frac{CD}{\sin B}=\sqrt{6}$，$BD=\frac{CD}{\tan B}=\sqrt{3}$，所以$AB=AD+BD=3+\sqrt{3}$。
解析：
解：过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$，则$\angle ADC = \angle BDC = 90°$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle A = 30°$，$AC = 2\sqrt{3}$，
$CD = AC · \sin A = 2\sqrt{3} · \sin 30° = 2\sqrt{3} · \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC · \cos A = 2\sqrt{3} · \cos 30° = 2\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
在$Rt\triangle BDC$中，$\angle B = 45°$，$CD = \sqrt{3}$，
$BC = \frac{CD}{\sin B} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 45°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6}$，
$BD = \frac{CD}{\tan B} = \frac{\sqrt{3}}{\tan 45°} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$。
$AB = AD + BD = 3 + \sqrt{3}$。
综上，$BC = \sqrt{6}$，$AB = 3 + \sqrt{3}$。
8. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\left|\sin A-\dfrac{1}{2}\right|+(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\cos B)^{2}=0$，则 $\angle C$ 的度数为(
C
)
A.$45^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
答案：8.C
解析：
解：因为$\left|\sin A - \dfrac{1}{2}\right| + (\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B)^2 = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$\sin A - \dfrac{1}{2} = 0$，$\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B = 0$。
由$\sin A = \dfrac{1}{2}$，得$\angle A = 30°$或$\angle A = 150°$（三角形内角和为$180°$，若$\angle A = 150°$，后续$\angle B = 45°$，则$\angle A + \angle B = 195° ＞ 180°$，舍去），故$\angle A = 30°$。
由$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，得$\angle B = 45°$。
所以$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 30° - 45° = 105°$。
C
9. (2025·江苏宿迁模拟)在锐角三角形 $ABC$ 中，$\angle A,\angle B,\angle C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，有以下结论：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$(其中 $R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径)成立.在 $\triangle ABC$ 中，若 $\angle A = 75^{\circ},\angle B = 45^{\circ},c = 4$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆面积为(
A
)
A.$\dfrac{16\pi}{3}$
B.$\dfrac{64\pi}{3}$
C.$16\pi$
D.$64\pi$
答案：9.A
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle A=75°$，$\angle B=45°$，则$\angle C=180° - 75° - 45° = 60°$。
已知$\frac{c}{\sin C}=2R$，$c=4$，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$2R=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}$，则$R=\frac{4}{\sqrt{3}}$。
外接圆面积$S=\pi R^2=\pi(\frac{4}{\sqrt{3}})^2=\frac{16\pi}{3}$。
A
10. 规定：$\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x,\cos (x + y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$，给出以下四个结论：
① $\sin (-30^{\circ})=-\dfrac{1}{2}$；
② $\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$；
③ $\cos (x - y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$；
④ $\cos 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
其中正确的个数是(
C
)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：10.C 解析：$\sin(-30°)=-\sin30°=-\frac{1}{2}$，故①正确；$\cos2x=\cos(x+x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\cos^2x-\sin^2x$，故②正确；$\cos(x-y)=\cos[x+(-y)]=\cos x\cos(-y)-\sin x\sin(-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$，故③正确；$\cos15°=\cos(45°-30°)=\cos45°\cos30°+\sin45°\sin30°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，故④错误。综上所述，其中正确结论的个数是3。
11. 在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，若 $\cos A=\dfrac{1}{2}$，则 $\sin A$ 的值为
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
.
答案：11.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
12. (亮点原创·新趋势
开放探究)已知 $\tan A = 2m - 3$，且 $30^{\circ}＜\angle A＜60^{\circ}$，则 $m$ 的值可以是
(答案不唯一)$\frac{2\sqrt{3}+9}{6}$
.(写一个无理数)
答案：12.(答案不唯一)$\frac{2\sqrt{3}+9}{6}$
