1. (教材
P98 练习 1 变式)(2024·云南)如图，在△ABC 中，若∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，则 tan A
的值为(
C
)
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案：1. C
解析：
解：在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{3}$.
答案：C
2. 如图，在△ABC 中，O 是角平分线 AD，BE 的交点. 若 AB = AC = 10，BC = 12，则 tan∠OBD 的值是(
A
)
A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
答案：2. A
解析：
解：
∵AB=AC=10，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC=6．
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$．
设OD=x，则AO=8-x．
∵BE是角平分线，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AB}{BD}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$，
即$\frac{8-x}{x}=\frac{5}{3}$，解得x=3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD=$\frac{OD}{BD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$．
答案：A
3. (2025·四川成都改编)如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在边 AC 上. 若 AD = 3，CD = 2，∠CBD = 45°，则 tan∠ACB 的值为(
C
)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：3. C 解析：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D分别作DF⊥BC于点F，DG⊥AE于点G，则∠GEF=∠BFD=∠CFD=∠DGE=90°，所以四边形DGEF是矩形，所以DG=EF.因为DG//BC，所以△AGD∽△AEC，所以$\frac{DG}{CE}=\frac{AD}{AC}$.因为AD=3，CD=2，所以AC=AD+CD=5，所以$\frac{DG}{CE}=\frac{3}{5}$.设DG=EF=3a，则CE=5a，所以CF=CE - EF=2a.因为AB=AC，所以BE=CE=5a，所以BF=BE+EF=8a.因为∠CBD=45°，所以∠BDF=90° - ∠CBD=45°，所以∠BDF=∠CBD，所以DF=BF=8a，所以tan∠ACB=$\frac{DF}{CF}$=4.
4. tan 45°，tan 37°，tan 75°之间的大小关系是
tan37°＜tan45°＜tan75°
. (用“＜”号连接)
答案：4. tan37°＜tan45°＜tan75°
5. 如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tan A =
$\frac{1}{2}$
.
答案：5. $\frac{1}{2}$ 解析：如图，连接BD.设每个小正方形的边长都为1，则AD=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{10}$，所以AD²+BD²=10，AB²=10，所以AD²+BD²=AB²，所以∠ADB=90°，所以tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$.
易错警示
正确构造直角三角形是解题关键.
6. 在△ABC 中，若∠A = 45°，AC² - BC² = $\frac{\sqrt{5}}{5}$AB²，则 tan C =
$\sqrt{5}$
.
答案：6. $\sqrt{5}$ 解析：如图，过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB=∠CDB=90°.因为∠A=45°，所以∠ABD=90° - ∠A=45°，所以∠ABD=∠A，所以AD=BD，所以AB²=AD²+BD²=2BD².因为BC²=CD²+BD²，所以AC² - BC²=(AD+CD)² - (CD²+BD²)=AD²+CD²+2AD·CD - CD² - BD²=2AD·CD=2BD·CD.因为AC² - BC²=$\frac{\sqrt{5}}{5}$AB²，所以2BD·CD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$·2BD²，所以CD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$BD，所以tanC=$\frac{BD}{CD}$=$\sqrt{5}$.
7. 如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD，AB 上的点，EF⊥EC，且 AE = DC. 若 DE = $\frac{2}{5}$AD，求 tan∠AFE 的值.
答案：7. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°，所以∠AEF+∠AFE=90°.因为EF⊥EC，所以∠CEF=90°，所以∠AEF+∠DEC=180° - ∠CEf=90°，所以∠AFE=∠DEC.因为DE=$\frac{2}{5}$AD，所以$\frac{AE}{DE}=\frac{3}{2}$.因为AE=DC，所以$\frac{DC}{DE}=\frac{3}{2}$，所以tan∠AFE=tan∠DEC=$\frac{DC}{DE}=\frac{3}{2}$.
8. (2025·江苏泰州模拟)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O. 若 BD = 8，tan∠ABD = $\frac{3}{4}$，则 AB 的长为(
C
)
A.$\sqrt{7}$
B.2$\sqrt{7}$
C.5
D.10
答案：8. C
解析：
解：
∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴AC⊥BD，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD=4，
在Rt△AOB中，tan∠ABD=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{3}{4}$，
∴AO=$\frac{3}{4}$BO=$\frac{3}{4}$×4=3，
∴AB=$\sqrt{AO^2+BO^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
答案：C
9. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 在线段 AB 的延长线上，连接 CD. 若 AB = 2DB，tan∠BCD = $\frac{2}{3}$，则 tan∠ABC 的值为(
B
)
A.1
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
答案：9. B
解析：
解：过点$D$作$DE ⊥ BC$，交$CB$的延长线于点$E$。
设$DB = k$，则$AB = 2k$，$AD = AB + BD = 3k$。
设$CE = 3m$，$DE = 2m$（由$\tan\angle BCD=\frac{DE}{CE}=\frac{2}{3}$设得）。
易证$\triangle ACB ∼ \triangle DEB$，$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}=\frac{AB}{BD}=2$，故$AC = 2DE = 4m$，$BC = 2BE$。
设$BE = x$，则$BC = 2x$，$CE = BC + BE = 3x = 3m$，得$x = m$，$BC = 2m$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACB$中，$\tan\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{4m}{2m}=2$。
答案：B
