2026年亮点给力提优课时作业本九年级数学下册苏科版第58页解析答案

1. 如图，四边形 $ABCD$ 和四边形 $AEFG$ 均为正方形，连接 $CF$，$DG$，则 $\frac{DG}{CF}$ 的值为(

)

A.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
1. B 解析：如图，连接AC,AF.因为四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，所以△ADC和△AGF均为等腰直角三角形，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle DAC=\angle GAF=45^{\circ}$，所以$\angle DAC-\angle GAC=\angle GAF-\angle GAC$，即$\angle DAG=\angle CAF$，所以△DAG∽△CAF，所以$\frac{DG}{CF}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
　　　　　　　

2. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $BC$ 的中点，$F$ 是线段 $AE$ 上一点，$BF$ 的延长线交射线 $CD$ 于点 $G$。若 $\frac{AF}{EF}=m$，求 $\frac{CD}{CG}$ 的值。（用含 $m$ 的代数式表示）

答案：
2. 如图，过点E作EH//AB,交BG于点H,则$\angle ABF=\angle EHF$，$\angle BAF=\angle HEF$，所以△ABF∽△EHF，所以$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=m$，所以$AB=mEH$.因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB=CD$，$AB// CD$，所以$CD=mEH$，$EH// CD$，所以△BCG∽△BEH，所以$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}$.因为E是BC的中点，所以$BC=2BE$，所以$CG=2EH$，所以$\frac{CD}{CG}=\frac{m}{2}$.
　　　　　　　

3. 新素养应用意识如图，某校计划将一块形状为锐角三角形的空地 $(\triangle ABC)$ 进行生态环境改造。已知 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 的长为 $120m$，边 $BC$ 上的高为 $80m$。学校计划将它分割成 $\triangle AHG$，$\triangle BHE$，$\triangle FCG$ 和矩形 $EFGH$ 四部分，其中矩形 $EFGH$ 的一边 $EF$ 在边 $BC$ 上，其余两个顶点 $H$，$G$ 分别在边 $AB$，$AC$ 上。现计划在 $\triangle AHG$ 区域种草，每平方米投资 $18$ 元；在 $\triangle BHE$，$\triangle FCG$ 区域都种花，每平方米投资 $30$ 元；在矩形 $EFGH$ 区域兴建爱心鱼池，每平方米投资 $12$ 元。
（1）当 $FG$ 的长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
（2）当 $FG$ 的长为多少米时，这块空地的改造总投资最小？最小值为多少？

答案：
3. (1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，交HG于点K，则$AD=80$ m.设$FG=x$ m，则$DK=FG=x$ m，所以$AK=AD-DK=(80-x)$m.因为HG//BC，所以△AHG∽△ABC，AK⊥HG，所以AK,AD分别是△AHG和△ABC的对应高，所以$\frac{AK}{AD}=\frac{HG}{BC}$.因为$BC=120$ m，所以$HG=(120-\frac{3}{2}x)$m，所以$BE+FC=BC-EF=BC-HG=\frac{3}{2}x$ m.因为$S_{\triangle AHG}=S_{\triangle BHE}+S_{\triangle FCG}$，所以$\frac{1}{2}HG· AK=\frac{1}{2}(BE+FC)· FG$，所以$\frac{1}{2}(120-\frac{3}{2}x)·(80-x)=\frac{1}{2}·\frac{3}{2}x· x$，解得$x=40$.故当FG的长为40m时，种草的面积与种花的面积相等.
　　　　　　

(2)设改造后的总投资为y元.由题意，得$y=\frac{1}{2}(120-\frac{3}{2}x)·(80-x)·18+\frac{1}{2}·\frac{3}{2}x· x·30+x(120-\frac{3}{2}x)·12=18x^{2}-720x+86400=18(x-20)^{2}+79200$.因为$18＞0,0＜x＜80$，所以当$x=20$时，y取最小值79200.故当FG的长为20m时，这块空地的改造总投资最小，最小值为79200元.