乒乓球中的抛物线问题
乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守。在2024年巴黎奥运会中，中国乒乓球队再次向世界展示了他们的卓越实力和无与伦比的竞技状态，为中国体育代表团贡献了5枚金牌和1枚银牌，延续了中国乒乓球队在奥运舞台上的传奇。当然，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的。
在一次国乒男队趣味训练中，双方运动员让乒乓球沿着球台的中轴线运动。如图为从侧面看乒乓球台的视图，MN为球台，EF为球网，E为MN的中点，MN=274 cm，EF=15.25 cm，队员甲从点M正上方的点A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的点B处再弹起到另一侧的点C处，从点C处再次弹起到点P，队员乙再接球。以M为原点，MB所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，1 cm为单位长度建立平面直角坐标系，x(cm)表示乒乓球到点M的水平距离，y(cm)表示乒乓球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，BC段抛物线的函数表达式为y₁=-$\frac{1}{200}$(x−m)(x−m−120)，CP段抛物线的函数表达式为y₂=a(x−h)² +k。
（1）当球在球网左侧距球网17 cm时到达最高点，求BC段抛物线的函数表达式；（写出自变量的取值范围）
（2）若球从点B处弹起至最高点后下落过程中，球刚好擦过球网EF，则需要重新发球，求此时m的值；
（3）已知球第二次的落点C在球网右侧53 cm处，球再次弹起的最大高度为12.5 cm，队员乙的球拍（看作点H）在点N的正上方8 cm处。若将球拍向前水平推出n cm恰好可接住球（此时球处于下落状态），求n的值。
答案：主题新情境 乒乓球中的抛物线问题
(1) 因为 E 为 MN 的中点,$MN = 274 \mathrm{ cm}$,所以$EM = \frac{1}{2}MN = 137 \mathrm{ cm}$. 因为球在球网左侧距球网 17 cm 时达到最高点,且$137 - 17 = 120(\mathrm{cm})$, 所以抛物线$y_1 = - \frac{1}{200}(x - m)(x - m - 120)$的对称轴为直线$x = 120$,所以$\frac{m + (m + 120)}{2} = 120$, 解得$m = 60$,所以$y_1 = - \frac{1}{200}(x - 60)(x - 180) = - \frac{1}{200}x^{2} + \frac{6}{5}x - 54$.故 BC 段抛物线的函数表达式为$y_1 = - \frac{1}{200}x^{2} + \frac{6}{5}x - 54(60 \leq x \leq 180)$.
(2) 因为$EF = 15.25 \mathrm{ cm}$,所以$F(137,15.25)$.把点$F(137,15.25)$代入$y_1 = - \frac{1}{200}(x - m)(x - m - 120)$,得$- \frac{1}{200}(137 - m)(17 - m) = 15.25$,解得$m = 77 \pm 5\sqrt{22}$.因为$\frac{m + (m + 120)}{2} ＜ 137$,所以$m ＜ 77$,所以此时 m 的值为$77 - 5\sqrt{22}$.
(3) 因为点 C 在球网右侧 53 cm 处,所以$CE = 53 \mathrm{ cm}$. 因为$EM = 137 \mathrm{ cm}$,所以$CM = CE + EM = 190 \mathrm{ cm}$,所以$C(190,0)$. 因为 CP 段抛物线与 BC 段抛物线形状相同,且球再次弹起的最大高度为$12.5 \mathrm{ cm}$,所以$y_2 = - \frac{1}{200}(x - h)^{2} + 12.5$. 把点$C(190,0)$代入$y_2 = - \frac{1}{200}(x - h)^{2} + 12.5$,得$- \frac{1}{200}(190 - h)^{2} + 12.5 = 0$,解得$h = 140$或 240. 因为$h ＞ 190$,所以$h = 240$,所以$y_2 = - \frac{1}{200}(x - 240)^{2} + 12.5$. 在$y_2 = - \frac{1}{200}(x - 240)^{2} + 12.5$中,令$y_2 = 8$,得$- \frac{1}{200}(x - 240)^{2} + 12.5 = 8$,解得$x = 210$或 270. 因为$x ＞ 240$,所以$x = 270$,所以$n = 274 - 270 = 4$.
