1. 新趋势 情境素材 网络销售已经成为一种热门的销售方式. 为了减少农产品的库存, 某市市长亲自在某网络平台上进行直播销售某品牌板栗. 为提高大家购买的积极性, 直播时,板栗公司每天拿出 2 000 元现金, 作为红包发给购买者. 已知该板栗的成本价格为 6 元/千克, 每日销售量 $ y $ (千克) 与销售单价 $ x $ (元/千克) 之间的函数表达式 $ y = - 100 x + 5 000 $. 经销售发现, 销售单价不低于成本价且不高于 30 元/千克, 当每日销售量不低于 4 000 千克时, 每千克成本将降低 1 元. 设板栗公司销售该板栗的日利润为 $ w $ (元).
(1) 请求出日利润 $ w $ (元) 与销售单价 $ x $ (元/千克) 之间的函数表达式;
(2) 当销售单价定为多少元/千克时, 销售这种板栗的日利润最大? 最大日利润为多少元?
(3) 当日利润不少于 40 000 元时, 网络平台将向板栗公司收取 $ a $ 元/千克 ($ a ＜ 4 $) 的相关费用. 若此时日利润的最大值为 42 100 元, 求 $ a $ 的值.
答案：(1)在$y=-100x+5000$中，令$y\geq4000$，得$-100x+5000\geq4000$，解得$x\leq10$，所以当销售单价不高于$10$元/千克时，每日销售量不低于$4000$千克。当$6\leq x\leq10$时，$w=[x-(6-1)](-100x+5000)-2000=-100x^{2}+5500x-27000$；当$10＜x\leq30$时，$w=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x^{2}+5600x-32000$.综上所述，日利润$w$(元)与销售单价$x$(元/千克)之间的函数表达式
为$w=\begin{cases}-100x^{2}+5500x-27000(6\leq x\leq10)\\-100x^{2}+5600x-32000(10＜x\leq30)\end{cases}$
(2)当$6\leq x\leq10$时，$w=-100x^{2}+5500x-27000=-100(x-27.5)^{2}+48625$.因为$-100＜0$，所以当$x=10$时，$w$取最大值，且最大值为$-100×(10-27.5)^{2}+48625=18000$；当$10＜x\leq30$时，$w=-100x^{2}+5600x-32000=-100(x-28)^{2}+46400$.因为$-100＜0$，所以当$x=28$时，$w$取最大值$46400$.因为$46400＞18000$，所以当销售单价定为$28$元/千克时，销售这种板栗的日利润最大，最大日利润为$46400$元。
(3)因为日利润不少于$40000$元，所以$w=-100x^{2}+5600x-32000(10＜x\leq30)$.令$w=40000$，得$-100x^{2}+5600x-32000=40000$，解得$x_{1}=20,x_{2}=36$.结合二次函数的图像可知，当$w\geq40000$时，$20\leq x\leq36$.又$10＜x\leq30$，所以$x$的取值范围为$20\leq x\leq30$.设扣除网络平台收取的相关费用后，该板栗公司销售该板栗的日利润为$m$(元).由题意，得$m=w-ay=-100x^{2}+5600x-32000-a(-100x+5000)=-100x^{2}+(100a+5600)x-5000a-32000=-100(x-\frac{a+56}{2})^{2}-32000-5000a+25(a+56)^{2}$.因为$0＜a＜4$，所以$28＜\frac{a+56}{2}＜30$.因为$20\leq x\leq30$，所以当$x=\frac{a+56}{2}$时，$m$取最大值，且最大值为$-32000-5000a+25(a+56)^{2}$，所以$-32000-5000a+25(a+56)^{2}=42100$，解得$a_{1}=2,a_{2}=86$(不合题意，舍去).故$a$的值为$2$.
2. 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 3 $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A ( 2, 0 ) $, $ B ( 6, 0 ) $ 两点, 与 $ y $ 轴交于点 $ C $, 顶点为 $ E $.
(1) 求该二次函数的表达式, 并写出点 $ E $ 的坐标;
(2) 如图①, $ D $ 是该二次函数图像的对称轴上的一个动点, 当 $ B D $ 的垂直平分线恰好经过点 $ C $ 时, 求点 $ D $ 的坐标;
(3) 如图②, $ P $ 是该二次函数图像上的一个动点, 连接 $ O P $, 取 $ O P $ 的中点 $ Q $, 连接 $ Q C $, $ Q E $, $ C E $. 当 $ \triangle C E Q $ 的面积为 12 时, 求点 $ P $ 的坐标.
答案：(1)因为二次函数$y=ax^{2}+bx+3$的图像与$x$轴交于$A(2,0),B(6,0)$两点，所以$\begin{cases}4a+2b+3=0\\36a+6b+3=0\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4}\\b=-2\end{cases}$所以该二次函数的表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}-2x+3$.因为$y=\frac{1}{4}x^{2}-2x+3=\frac{1}{4}(x-4)^{2}-1$，所以点$E$的坐标为$(4,-1)$.
(2)在$y=\frac{1}{4}x^{2}-2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，所以$C(0,3)$.因为点$D$在二次函数$y=\frac{1}{4}x^{2}-2x+3$的图像的对称轴直线$x=4$上，所以可设点$D$的坐标为$(4,m)$.因为$BD$的垂直平分线恰好经过点$C$，所以$CD=CB$，所以$CD^{2}=CB^{2}$.因为$B(6,0)$，所以$CB^{2}=(6-0)^{2}+(0-3)^{2}=45$.又$CD^{2}=(4-0)^{2}+(m-3)^{2}=(m-3)^{2}+16$，所以$(m-3)^{2}+16=45$，解得$m=3\pm\sqrt{29}$，所以点$D$的坐标为$(4,3+\sqrt{29})$或$(4,3-\sqrt{29})$.
(3)因为$P$是二次函数$y=\frac{1}{4}x^{2}-2x+3$图像上的一个动点，所以可设$P(n,\frac{1}{4}n^{2}-2n+3)$.因为$Q$是$OP$的中点，所以$Q(\frac{n}{2},\frac{1}{8}n^{2}-n+\frac{3}{2})$.设直线$CQ$的函数表达式为$y=kx+d$.把点$Q(\frac{n}{2},\frac{1}{8}n^{2}-n+\frac{3}{2}),C(0,3)$分别代入$y=kx+d$，得$\begin{cases}k·\frac{n}{2}+d=\frac{1}{8}n^{2}-n+\frac{3}{2}\\d=3\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{4}n-2-\frac{3}{n}\\d=3\end{cases}$所以直线$CQ$的函数表达式为$y=(\frac{1}{4}n-2-\frac{3}{n})x+3$.设直线$x=4$交直线$CQ$于点$M$，则$M(4,n-8-\frac{12}{n}+3)$，即$(4,n-5-\frac{12}{n})$.因为直线$x=4$经过点$E(4,-1)$，所以$EM=\vert n-5-\frac{12}{n}-(-1)\vert=\vert n-4-\frac{12}{n}\vert$，所以$S_{\triangle CEQ}=\frac{1}{2}EM·\vert x_Q-x_c\vert=\frac{1}{2}\vert n-4-\frac{12}{n}\vert·\frac{n}{2}-0=\frac{1}{4}n^{2}-n-3$.又$S_{\triangle CEQ}=12$，所以$\frac{1}{4}n^{2}-n-3=12$.当$\frac{1}{4}n^{2}-n-3=-12$时，该方程无解；当$\frac{1}{4}n^{2}-n-3=12$时，解得$n_{1}=10,n_{2}=-6$.当$n=10$时，$\frac{1}{4}n^{2}-2n+3=\frac{1}{4}×10^{2}-2×10+3=8$，所以$P(10,8)$；当$n=-6$时，$\frac{1}{4}n^{2}-2n+3=\frac{1}{4}×(-6)^{2}-2×(-6)+3=24$，所以$P(-6,24)$.综上所述，点$P$的坐标为$(10,8)$或$(-6,24)$.
