1. 亮点原创·新趋势 开
放探究 小明在四张完全相同的卡片的正面分别写了一个整数. 现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片上的数字记为 $ a $. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{1 - ax}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 有正整数解的概率为 $\frac{1}{2}$，则小明写的这四个整数可以为
(答案不唯一)0,0,1,2
.(填一组即可)
答案：1.(答案不唯一)0,0,1,2 解析:解分式方程$\frac{1−ax}{x−2}+2=\frac{1}{2−x}$,得$x=\frac{2}{2−a}$.因为$a$为整数,$x$为正整数且$x≠2$,所以$x=1$,此时$a=0$.因为该分式方程有正整数解的概率为$\frac{1}{2}$,且$4×\frac{1}{2}=2$,所以小明写的这四个整数中，0的个数为2，所以小明写的这四个整数可以为0,0,1,2.
2. 有三张正面分别写有数字 $-2$，$-1$，$1$ 的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后任意抽取一张，以其正面的数字作为 $ x $ 的值，放回洗匀后，再从三张卡片中任意抽取一张，以其正面的数字作为 $ y $ 的值，两次结果记为 $(x,y)$.
(1) 用画树状图或列表的方法表示 $(x,y)$ 所有可能出现的结果；
(2) 求使分式 $\frac{x^{2} - 3xy}{x^{2} - y^{2}} + \frac{y}{x - y}$ 有意义的 $(x,y)$ 出现的概率；
(3) 化简分式 $\frac{x^{2} - 3xy}{x^{2} - y^{2}} + \frac{y}{x - y}$，并求使分式的值为整数的 $(x,y)$ 出现的概率.
答案：2.(1)列表如下:
y
结果 −2 −1 1
x
−2 (−2,−2)(−2,−1) (−2,1)
−1 (−1,−2)(−1,−1) (−1,1)
1 (1,−2) (1,−1) (1,1)
由表格可知，所有可能出现的结果有(−2,−2),(−2,−1),(−2,1),(−1,−2),(−1,−1),(−1,1),(1,−2),(1,−1),(1,1),共9种.
(2)要使分式$\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-y^{2}}+\frac{y}{x-y}$有意义，则有$(x+y)(x-y)\neq0$.结合(1)中出现的可能结果可知只有(−2,−1),(−2,1),(−1,−2),(1,−2)这4种符合条件.故使分式$\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-y^{2}}+\frac{y}{x-y}$有意义的$(x,y)$出现的概率为$\frac{4}{9}$.
(3)$\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-y^{2}}+\frac{y}{x-y}=\frac{x^{2}-3xy}{(x+y)(x-y)}+\frac{y}{x-y}=\frac{x^{2}-3xy+y(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{(x+y)(x-y)}=\frac{(x-y)^{2}}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$.结合(2),分别将符合条件的$(x,y)$代入上式计算，所得结果依次为$\frac{1}{3}$，3，$-\frac{1}{3}$，-3.故使分式的值为整数的$(x,y)$出现的概率为$\frac{2}{9}$.
3. 新素养 应用意识 某学校的课程安排中，各班每天下午只安排三节课.
(1) 星期二下午，七(1)班安排了数学、英语、生物课各一节. 求把数学课安排在最后一节的概率；
(2) 星期三下午，八(1)班安排了数学、物理、政治课各一节，八(2)班安排了数学、语文、地理课各一节. 若这两个班的数学课由同一位老师担任，其他课由另外四位老师担任，求这两个班数学课不冲突的概率.
答案：3.(1)如图①，共有6种等可能的结果，其中数学课安排在最后一节的结果有2种，所以$P$(把数学课安排在最后一节)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
(2)如图②为八(1)班的课程安排情况，如图③为八(2)班的课程安排情况.八(1)班的每一种安排都可以与八(2)班的所有安排情况相对应，所以共有$6×6 = 36$(种)等可能的结果，其中不冲突的结果有$4×6 = 24$(种)，所以$P$(这两个班数学课不冲突)$=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$.
