【变式2】
如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$AB = AD$，$AC$，$BD$ 交于点 $O$。有下列条件：① $AC ⊥ BD$；② $OA = OC$；③ $CA$ 平分 $\angle BCD$；④ $\angle ABC = \angle ADC$。其中，能判定四边形 $ABCD$ 是菱形的为
①②④
。(填序号)
答案：①②④
典例3
如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$AD = 5$，$AC = 8$，$BD = 6$。
(1)求证：平行四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2)延长 $BC$ 至点 $E$，连接 $OE$ 交 $CD$ 于点 $F$，且 $\angle E = \frac{1}{2}\angle ACD$，求 $\triangle OBE$ 的面积。
答案：【思路分析】(1)由平行四边形对角线互相平分和勾股定理，得到 $AC ⊥ BD$，所以平行四边形 $ABCD$ 是菱形。(2)利用菱形的性质和外角性质，得到 $OC = CE$，再通过等积法求出底边 $BE$ 上的高，最终求出结果。
【答案】(1)因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AC = 8$，$BD = 6$，所以 $OA = OC = \frac{1}{2}AC = 4$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD = 3$。又 $AD = 5$，且 $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$，所以 $OA^{2} + OD^{2} = AD^{2}$，即 $\angle AOD = 90^{\circ}$。所以 $AC ⊥ BD$。所以平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
(2)由(1)，得四边形 $ABCD$ 是菱形，$AC ⊥ BD$，$OB = 3$，$OC = 4$，所以 $BC = AD$，$\angle ACB = \angle ACD$。因为 $\angle ACB = \angle E + \angle COE$，$\angle E = \frac{1}{2}\angle ACD$，所以 $\angle E = \angle COE$，即 $CE = OC = 4$。又 $AD = 5$，所以 $BC = 5$，即 $BE = 9$。过点 $O$ 作 $OG ⊥ BC$ 于点 $G$，则 $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OG · BC = \frac{1}{2}OB · OC$。所以 $OG = \frac{OB · OC}{BC} = \frac{12}{5}$。则 $S_{\triangle OBE} = \frac{1}{2}OG · BE = \frac{54}{5}$。
【变式3】
如图，过 $□ ABCD$ 对角线 $AC$ 的中点 $O$ 作两条互相垂直的直线，分别交 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 于 $E$，$F$，$G$，$H$ 四点，连接 $EF$，$FG$，$GH$，$EH$，则下列结论错误的是 (
D
)
A.$EH = HG$
B.$AC$ 与 $EG$ 互相平分
C.$EH // FG$
D.$AC$ 平分 $\angle DAB$
答案：D
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$O$是$AC$中点，
∴$OA=OC$，$AB// CD$，$AD// BC$。
选项A：
在$\triangle AOE$和$\triangle COG$中，
$\angle OAE=\angle OCG$，$OA=OC$，$\angle AOE=\angle COG$，
∴$\triangle AOE\cong\triangle COG$（ASA），
∴$OE=OG$。
同理，$\triangle AOH\cong\triangle COF$（ASA），
∴$OH=OF$。
∵$EG⊥ FH$，
∴四边形$EFGH$是菱形，
∴$EH=HG$，A正确。
选项B：
由$\triangle AOE\cong\triangle COG$得$OE=OG$，又$OA=OC$，
∴$AC$与$EG$互相平分，B正确。
选项C：
∵四边形$EFGH$是菱形，
∴$EH// FG$，C正确。
选项D：
平行四边形$ABCD$中，仅当邻边相等（即菱形）时，$AC$平分$\angle DAB$，一般平行四边形不成立，D错误。
结论：错误的是D。
$\boxed{D}$
