典例1
如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle A = 60^{\circ}$，$E$，$F$ 分别为边 $AD$，$DC$ 上的动点，$\angle EBF = 60^{\circ}$，点 $E$ 从点 $A$ 向点 $D$ 运动的过程中，$AE + CF$ 的长 (
D
)
A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.保持不变，且与 $EF$ 的长相等
D.保持不变，且与 $AB$ 的长相等
答案：【思路分析】连接 $BD$。因为四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle A = 60^{\circ}$，所以 $AB = BC = CD = AD$，$\angle C = \angle A = 60^{\circ}$，即 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 都是等边三角形。所以 $BA = BD$，$\angle ABD = \angle BDC = 60^{\circ}$，即 $\angle A = \angle BDF$。又 $\angle EBF = 60^{\circ}$，所以 $\angle EBF = \angle ABD$。所以 $\angle ABD - \angle EBD = \angle EBF - \angle EBD$，即 $\angle ABE = \angle DBF$。所以 $\triangle ABE \cong \triangle DBF(ASA)$。所以 $AE = DF$。所以 $AE + CF = DF + CF = CD = AB$。所以 $AE + CF$ 的长保持不变，且与 $AB$ 的长相等。
【答案】D
【变式1】
如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，且 $AC = 6$，$BD = 8$，分别过 $B$，$C$ 两点作 $AC$ 与 $BD$ 的平行线相交于点 $E$。若点 $G$ 在直线 $AC$ 上运动，则 $BG + EG$ 的最小值为
$\sqrt{73}$
。
答案：$\sqrt{73}$ 解析：连接DG，DE.因为四边形ABCD是菱形，$AC = 6$，$BD = 8$，所以$OC=\frac{1}{2}AC = 3$，$AC⊥ BD$，$OB = OD$，即$\angle BOC = 90^{\circ}$，AC垂直平分BD.所以$BG = DG$，即$BG + EG = DG + EG\geqslant DE$.所以当点G在DE上时，$BG + EG$的值取最小值，且最小值为DE的长.又$CE// BD$，$BE// AC$，所以四边形BOCE是矩形，即$BE = OC = 3$，$\angle OBE = 90^{\circ}$.在$Rt\triangle DBE$中，由勾股定理，得$DE=\sqrt{BD^{2}+BE^{2}}=\sqrt{73}$，所以$BG + EG$的最小值为$\sqrt{73}$.
典例2
如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，用直尺和圆规作 $\angle BAD$ 的平分线 $AG$ 交 $BC$ 于点 $E$，以点 $A$ 为圆心，$AB$ 的长为半径画弧交 $AD$ 于点 $F$。若 $BF = 12$，$AB = 10$，则 $AE$ 的长为(
A
)
A.16
B.15
C.14
D.13
答案：【思路分析】设 $AE$ 与 $BF$ 的交点为 $O$，连接 $EF$。由题意，得 $AD // BC$，$AB = AF$，所以 $\angle BEA = \angle FAE$。又 $AE$ 平分 $\angle BAD$，所以 $\angle FAE = \angle BAE$，即 $\angle BAE = \angle BEA$。所以 $AB = BE$，即 $BE = AF$。所以四边形 $ABEF$ 是菱形。所以 $AE = 2OA$，$OB = OF = \frac{1}{2}BF$，$AE ⊥ BF$，即 $\angle AOB = 90^{\circ}$。又 $BF = 12$，所以 $OB = 6$。在 $Rt\triangle AOB$ 中，$AB = 10$，由勾股定理，得 $OA = \sqrt{AB^{2} - OB^{2}} = 8$，所以 $AE = 16$。
【答案】A
