8. 亮点原创 6月6日是全国爱眼日，某校对七年级学生进行了视力检测，收集了部分学生的检测数据，并绘制成了频数分布直方图，从左至右每个小长方形的高之比为2 : 4 : 5 : 3，其中第三组的频数比第二组多15，则一共收集了
210
名学生的检测数据.
答案：8. $210$
解析：
设从左至右每个小长方形的高所对应的频数分别为$2x$，$4x$，$5x$，$3x$。
由第三组的频数比第二组多15，可得：$5x - 4x = 15$，解得$x = 15$。
则总频数为$2x + 4x + 5x + 3x = 14x = 14×15 = 210$。
210
9. 已知x为整数，且$\frac{2}{x + 3}+\frac{2}{3 - x}+\frac{2x + 18}{x^2 - 9}$为整数，则所有符合条件的x的值之和是
12
.
答案：9. $12$
解析：
$\begin{aligned}&\frac{2}{x + 3}+\frac{2}{3 - x}+\frac{2x + 18}{x^2 - 9}\\=&\frac{2}{x + 3}-\frac{2}{x - 3}+\frac{2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2(x - 3) - 2(x + 3) + 2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2x - 6 - 2x - 6 + 2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2x + 6}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2}{x - 3}\end{aligned}$
因为$x$为整数，且$\frac{2}{x - 3}$为整数，所以$x - 3$是$2$的因数，$x - 3 = \pm1$，$\pm2$。
当$x - 3 = 1$时，$x = 4$；
当$x - 3 = -1$时，$x = 2$；
当$x - 3 = 2$时，$x = 5$；
当$x - 3 = -2$时，$x = 1$。
又因为$x^2 - 9 \neq 0$，即$x \neq \pm3$，以上$x$值均符合条件。
所有符合条件的$x$的值之和为$4 + 2 + 5 + 1 = 12$。
12
10. 已知$4x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10 = 0$，则$(\frac{2}{3}x·\sqrt{9x}+y^2·\sqrt{\frac{x}{y^3}})-(x^2\sqrt{\frac{1}{x}}-5x\sqrt{\frac{y}{x}})=$
$\frac{\sqrt{2}}{4}+3\sqrt{6}$
.
答案：10. $\frac{\sqrt{2}}{4}+3\sqrt{6}$
解析：
解：$4x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10 = 0$，
$(4x^2 - 4x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 0$，
$(2x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 0$，
得$x = \frac{1}{2}$，$y = 3$。
$(\frac{2}{3}x·\sqrt{9x} + y^2·\sqrt{\frac{x}{y^3}}) - (x^2\sqrt{\frac{1}{x}} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}})$
$= (\frac{2}{3}x·3\sqrt{x} + y^2·\frac{\sqrt{xy}}{y^2}) - (x^2·\frac{\sqrt{x}}{x} - 5x·\frac{\sqrt{xy}}{x})$
$= (2x\sqrt{x} + \sqrt{xy}) - (x\sqrt{x} - 5\sqrt{xy})$
$= 2x\sqrt{x} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x} + 5\sqrt{xy}$
$= x\sqrt{x} + 6\sqrt{xy}$。
将$x = \frac{1}{2}$，$y = 3$代入，
原式$= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} + 6\sqrt{\frac{1}{2}×3} = \frac{\sqrt{2}}{4} + 3\sqrt{6}$。
$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3\sqrt{6}$
11. 若关于x的分式方程$\frac{ax + 3}{x - 1}+1=\frac{3x - 4}{1 - x}$的解为正整数，则满足条件的整数a的值为
-3
.
答案：11. $-3$
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$得：$ax + 3 + x - 1 = -(3x - 4)$
化简得：$(a + 1)x + 2 = -3x + 4$
移项合并得：$(a + 4)x = 2$
解得：$x = \frac{2}{a + 4}$
因为解为正整数，所以$a + 4$是$2$的正因数，即$a + 4 = 1$或$a + 4 = 2$
当$a + 4 = 1$时，$a = -3$，此时$x = 2$，经检验$x = 2$是原方程的解
当$a + 4 = 2$时，$a = -2$，此时$x = 1$，经检验$x = 1$是增根，舍去
所以满足条件的整数$a$的值为$-3$
$-3$
12. 已知x，y是自然数，且x ＞ y，$xy^2 + 6xy + 9x - 128y = 0$，则x + y =
9或15
.
答案：12. $9$或$15$ 解析：因为$xy^2+6xy+9x-128y=0$，
所以$x(y^2+6y+9)=128y$，即$x=\frac{128y}{(y+3)^2}=$
$\frac{2^7· y}{(y+3)^2}$.又$x,y$都是自然数，且$x＞y$，所以$(y+$
$3)^2=2^6$或$(y+3)^2=2^4$，解得$y=5$或$y=1$.当
$y=5$时，$x=10$；当$y=1$时，$x=8$.所以$x+y=$
$15$或$x+y=9$.
13. 新素养
运算能力 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC ＞ BD，E，F分别为边AB，CD的中点. 若四边形ABCD的面积为24，AC + BD = 14，则EF的长为
5
.
答案：13. $5$ 解析：设$AC,BD$的交点为$O$.因为$AC⊥ BD$，
所以$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC· OB+$
$\frac{1}{2}AC· OD=\frac{1}{2}AC· BD$.又$S_{四边形ABCD}=24$，所
以$\frac{1}{2}AC· BD=24$，即$AC· BD=48$.又$AC+$
$BD=14$，且$AC＞BD$，所以$AC - BD=$
$\sqrt{(AC+BD)^2-4AC· BD}=2$.所以$AC=8$，
$BD=6$.取$BC$的中点$G$，连接$EG$，$FG$.又$E,F$
分别为边$AB,CD$的中点，所以$EG$是$\triangle ABC$的
中位线，$FG$是$\triangle BCD$的中位线，即$EG=$
$\frac{1}{2}AC=4$，$EG// AC$，$FG=\frac{1}{2}BD=3$，$FG// BD$.所
以$EG⊥ FG$，即$\angle EGF=90°$.在$Rt\triangle EFG$中，由
勾股定理，得$EF=\sqrt{EG^2+FG^2}=5$.
14. 如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM = BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF. 若正方形的边长为6，则CF的长的最小值是
$3\sqrt{5}-3$
.
答案：14. $3\sqrt{5}-3$ 解析：因为四边形$ABCD$是边长为$6$的
正方形，$AC$为其对角线，所以$AD=BC=CD=$
$6$，$\angle ADC=\angle BCD=90°$，$\angle DCE=\angle BCE=$
$45°$.又$CE=CE$，所以$\triangle DCE\cong\triangle BCE(SAS)$.所
以$\angle CDE=\angle CBE$.又$AM=BN$，所以$Rt\triangle ADM\cong$
$Rt\triangle BCN(HL)$.所以$\angle DAM=\angle CBE$.所以
$\angle DAM=\angle CDE$.又$\angle CDE+\angle ADF=$
$\angle ADC=90°$，所以$\angle DAM+\angle ADF=90°$.所以
$\angle AFD=180°-\angle ADF-\angle DAM=90°$.取$AD$
的中点$G$，连接$FG$，$CG$，则$FG=DG=\frac{1}{2}AD=$
$3$.在$Rt\triangle CDG$中，由勾股定理，得$CG=$
$\sqrt{CD^2+DG^2}=3\sqrt{5}$.又$CF\geq CG-FG$，且当$C$，
$F$，$G$三点共线时，$CF$的长取最小值，所以$CF$的
长的最小值是$CG-FG=3\sqrt{5}-3$.
15. （15分）计算与解方程：
（1）$(\frac{2}{a + 1}+\frac{a + 2}{a^2 - 1})÷\frac{a}{a - 1}-\frac{3a - 1}{a^2 + a}$；
（2）$(\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2})$；
（3）$\frac{2}{x^2 - 2x}+\frac{3}{x^2 + 2x}=\frac{4}{x^2 - 4}$.
答案：15. (1)原式$=\frac{2(a-1)+a+2}{(a+1)(a-1)}·\frac{a-1}{a}-\frac{3a-1}{a(a+1)}=$
$\frac{3}{a+1}-\frac{3a-1}{a(a+1)}=\frac{3a-(3a-1)}{a(a+1)}=\frac{1}{a^2+a}$.
(2)原式$=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=8-2\sqrt{15}-2=$
$6-2\sqrt{15}$.
(3)无解($x=2$是增根).
