24. (8 分)定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”。例如：1，4，9 这三个数，$\sqrt{1 × 4} = 2$，$\sqrt{1 × 9} = 3$，$\sqrt{4 × 9} = 6$，其结果分别为 2，3，6，都是整数，所以 1，4，9 这三个数被称为“和谐组合”，其中“最小算术平方根”是 2，“最大算术平方根”是 6。
(1)请证明 2，18，8 这三个数是“和谐组合”，并求出“最小算术平方根”和“最大算术平方根”；
(2)已知 9，$a$，25 三个数是“和谐组合”，且“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的 3 倍，求$a$的值。
答案：24.(1)证明如下：因为√(2×8) = 4，√(2×18) = 6，√(18×8) = 12，其结果分别为4，6，12，都是整数，所以2，18，8这三个数是“和谐组合”，其中“最小算术平方根”是4，“最大算术平方根”是12.
(2)由题意，分类讨论如下：①当0 ＜ a ＜ 9时，√(9×25) = 3√9a，解得a = 25/9（舍去）；②当9≤a≤25时，√(25a) = 3√9a，解得a = 0（舍去）；③当a＞25时，√(25a) = 3√(9×25)，解得a = 81，符合题意.综上，a的值为81.
25. (10 分)(2025·江苏扬州期末)类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法。
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：$\sqrt{x + 1} = 2$。
解：去根号，两边同时平方，得一元一次方程
x + 1 = 4
；解这个方程，得$x = $
3
；经检验，$x = $
3
是原方程的解；
(2)【学会转化，解决问题】
① 运用上面的方法解方程：$\sqrt{9x^{2} - 5x} + 3x = 1$；
② 代数式$\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(7 - x)^{2} + 4}$的值能否等于 7？若能，求出$x$的值；若不能，请说明理由。
答案：25.(1)x + 1 = 4 3 3
(2)①移项，得√(9x² - 5x) = 1 - 3x；去根号，两边同时平方，得9x² - 5x = 1 - 6x + 9x²，即 - 5x = 1 - 6x；解这个方程，得x = 1.经检验，x = 1不是原方程的解.则原方程无解.
②不能.理由如下：假设√(x² + 4) + √((7 - x)² + 4) = 7，移项，得√((7 - x)² + 4) = 7 - √(x² + 4)；去根号，两边同时平方，得(7 - x)² + 4 = 7² + x² + 4 - 14√(x² + 4)，即x = √(x² + 4)；去根号，两边再次平方，整理，得0 = 4，等式不成立.所以假设不成立，即√(x² + 4) + √((7 - x)² + 4)不可能等于7.
